i?1?:N(? ，??2) 00 nn?xi2i?1?Xn2i?: ?1N(?1 ， n?22i)

?xi?1进行标准化变换可得

????00??SE（?0）????00?Xi?1ni?1n :N（0，1） （1）

2i?2n?xi2????????111?1:N（0，1） 2?SE（?1）? （2）

?xi?1n2i

其中，随机误差项?i的方差?2的真实值未知，只能用其无偏估计量

?2???ei?1n2in?2

? 、??的方差和标准差的?2替代?2后得到的?替代。用无偏估计量?01??估计量分别称为?0 、?1的样本方差和样本标准差，样本方差和样?、SE?表示，即 本标准差可分别用 Var?（??）Var0??Xi?1ni?1n2i??2

n?xi2?2???Var（?1）?n?xi2i?1

?2替代?2后，式（1）用?、（2）中的统计量服从自由度为n?2的t分布，将替代后的统计量分别记为t0 、t1，有

????0t0?0???SE（?0）????00?Xi?1ni?1n:（tn-2）

2i?2?n?xi2 21

????????11t1??11:（tn-2） 2??SE（?1）???xi?1n2i

12．什么是变量显著性检验？

答：一元线性回归模型中，?1是否显著不为0，反映解释变量对被解释变量的影响是否显著，所以常针对原假设H0 ：?1?0，备择假设H1 ：?1?0，进行检验，称为变量显著性检验。原假设为H0 ：?1?0，备择假设为H1 ：?1?0时，根据原假设

??1t1?:（tn-2） ??SE（?1）对于给定的显著性水平?，查自由度为n?2的t分布临界值，并计

算t1的值，如果

t1?[?t?，t?]

22接受原假设H0 ：?1?0，认为解释变量对被解释变量的影响不显著；反之，如果

t1?t?

2则拒绝原假设H0 ：?1?0，接受备择假设H1 ：?1?0，认为解释变量对被解释变量的影响显著。

13．为什么被解释变量总体均值的预测置信区间比个别值的预测置信区间窄？

（Y/X0）答：被解释变量的总体均值E的波动，主要取决于样本数

据的抽样波动。被解释变量的个别值Y0的波动，除受样本数据的抽样波动的影响外，还受随机误差项?i的影响。反映在式（2-50）、

?（Y?（e）?）式（2-51）中，SE0?SE0，总体均值的预测置信区间窄于个

22

别值的预测置信区间。

14．由1981—2005年的样本数据估计得到反映某一经济活动的计量经济学

模型，利用模型对2050年该经济活动的情况进行预测，是否合适？为什么？

答：因为在解释变量的样本均值X处，样本观察数据的代表性往

（Y/X0）往较好，即抽样波动往往较小，被解释变量的总体均值E和

个别值Y0的波动较小。反之，解释变量X的取值偏离X的距离越大，样本观察数据的代表性往往越差，即抽样波动往往越大，被

（Y/X0）解释变量的总体均值E和个别值Y0的波动越大。由此可见，

用回归模型作预测时，解释变量的取值不宜偏离解释变量的样本均值X太大，否则预测精度会大大降低。

所以利用模型对2050年的经济活动的情况进行预测不合适。

15．在一元线性回归模型Yi??0??1Xi??i中，用不为零的常数?去乘每一个X值，对参数?0与?1的估计值、Y的拟合值、残差会产生什么样的影响？如果用不为零的常数?去加每一个X值，又会怎样？

????X?e，则有 解答：记原总体模型对应的样本回归模型为Yi??01ii????1xiyi?xi2??Y???X ， ?01 23

Y的拟合值与残差分别为

????X ???Yi01i????X) ei?Yi?(?01i记X*??Xi，则有

X*X??n*i??X

x*?Xi*?X*??xi

记新总体模型对应的样本回归模型为

?0???1Xi*?ei* Yi??则有

?1?xy???(x)*ii*2i???xy??x?ii22i??xy??x1ii2i??1??1

?0?Y???1X*?Y??1??X??? ?1?X?Y??10于是在新的回归模型下，Y的拟合值与残差分析分别为

*??1???X??????X ?????Y??X??i01i01i01i???1???X*)?Y?(?????X) ?0???1Xi*)?Yi?(?ei*?Yi?(?01ii01i?可见，用不为零的常数?去乘每一个X值，?1的估计值变为原来的1?，

如果记

Xi*?Xi??,

?0的估计值、Y的拟合值与模型的残差不变。

xi*?xi

于是新模型的回归参数分别为

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