4．t检验、F检验的关系如何？

解答 变量显著性检验（t检验）是针对单个解释变量对被解释变量的影响是否显著所作的检验，检验被检验变量的参数为0是否显著成立；方程显著性检验（F检验）是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，检验被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立。

5．对于多元线性回归模型Yi??1X1i??2X2i?L（1）求参数的普通最小二乘估计量。

（2）对于该模型，参数的普通最小二乘估计量是否依然满足线性性、无偏性、有效性？ （3）对于该模型，是否依然有

??kXki??i

?ei?1ni?0

?eiXji?0(j?1,2,Li?1n,k)

?eiY?i?0

i?1n-1（X?X）X?Y 解答 （1）???（2）依然满足线性性、无偏性、有效性 （3）依然有?ei?0 ?eiXji?0(j?1,2,Li?1i?1nn,k)

?eiY?i?0

i?1n6．证明，在?显著性水平下，当ti信区间不包括0。

?t?时，?i的置信度为1??的置

2解答 在?显著性水平下，当|ti|?t?时，即

2|ti|?|??iS??i?|?t?S????t?S|?t??|???i?i???22i2i 或

???t?S??i??2i

37

??t?S??0 ??i??2i或

??t?S??0 ?i??2i而在

2i1??i的置信度下，

?i的置信区间是：

??t?S?,???t?S?) (?i?i???2??t当?i???t当?i?2?S???0时， ?i的置信区间的下限大于

i0； 0；

2?S???0时， ?i的置信区间的上限小于

i??i的置信度为1??的置信区间不包括0。

7．为研究某地家庭书刊消费与家庭收入、户主受教育程度之间的关系，建立了家庭书刊年消费支出Y（元）、家庭月平均收入X1（元）、户主受教育年数X2（年）的模型，用抽样得到的35个家庭的数据估计得

? ? 8.2617 ? 0.0208X ? 1.2698X Yi1i2i t?(3.356763)(?4.237629) (2.965781)R2?0.961542 R2=0.936783 F?98.523926 n?35

（1）从经济意义上考察模型的合理性。

（2）在5%的显著性水平上，进行变量显著性检验。 （3）在5%的显著性水平上，进行方程总体显著性检验。 解答 （1）家庭月平均收入越高，家庭书刊年消费支出相应会增加，但不会有收入增加的那么快，所以家庭月平均收入的系数应大于0，小于1；户主受教育年数越多，那么对文化产品的需求也会越多，家庭书刊年消费支出相应会增加，所以其系数大于0。 从经济意义上看，模型参数是比较合理的。 （2）在5%的显著性水平上，查表得

t?(n?k?1)?t0.025(32)?2.036933

238

显然，两估计参数计算的t值大于临界值，拒绝它们各自为零的原假设，两变量显著。

（3）在5%的显著性水平上，自由度为（2，32）的F分布的临界值为3.294537，计算的F值大于该临界值，所以拒绝原假设，方程总体显著。

8．（注意：本题数据有误，需修改，回归平方和、总平方和调换了位置）一个二元线性回归模型的回归结果如表3-5所示。

表3-5 回归分析结果

方差来源 来自回归 来自残差 来自总离差 平方和 17058 26783 自由度 32 （1）求样本容量n，残差平方和RSS，回归平方和ESS的自由度，残差平方和RSS的自由度。

（2）求决定系数R2和调整的决定系数R2。

（3）根据以上信息，在给定显著性水平下，可否检验两个解释变量对被解释变量的联合影响是否显著？为什么？

（4）根据以上信息，在给定显著性水平下，可否检验两个解释变量各自对被解释变量的影响是否显著？为什么？

解答 （1）总离差平方和的自由度为n-1，所以样本容量为33。

39

RSS?TSS?ESS?26783-17058?9725

因为回归平方和的自由度为解释变量个数，所以为2。残差平方和的自由度为n-k-1=30。

（2）

R2?ESS17058??0.637 RSS26783RSS/(n?k?1)?0.613TSS/(n?1)R2?1?

（3）因为联合检验的F统计量为：

F?ESS/k

RSS/(n?k?1)根据以上信息，在给定显著性水平下，可检验两个解释变量对被解释变量的联合影响是否显著。

（4）不能。由于无法计算参数的t值。

9．（注意：本题的CES生产函数有误，其中的ln(K)2改为(lnK)2）

LL某地1981-2005年国内生产总值Y、生产资金K、从业人数L的统计数据如表3-6所示。

表3-6 某地1981—2005年的国内生产总值及相关数据

从业时生产 从业GDP 时生产 资金 人数 年份 GDP 间 资金 人数 年份 (亿间(万(亿元) 变(亿元) (万元) 变(亿元) 量 人) 量 人) 1981 123.6 1 1982 125.8 2 1983 128.5 3 486.7 386.4 1994 406.2 14 1500.8 456.3 512.5 391.2 1995 421.3 15 1523.7 461.1 521.8 396.1 1996 563.5 16 1657.8 465.4 40