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文章发布时间 : 2024/12/23 17:54:24星期一

线性代数习题册答案

第一章行列式

练习一

班级学号姓名

1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;

（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.

2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .

3．在四阶行列式中，项a12a23a34a41的符号为负 .

004132= －24 . 54．02

5．计算下列行列式：

?12?1?22?2= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 ?1（1）22

或

??1??111= －?3＋1＋1－（－?）－（－?）―（－?） ??（2）11= －?＋3?+2=(2??)(??1)

练习二

班级学号姓名 1．已知3阶行列式det(aij)=1，则行列式det(?aij)= －1 . (?13)?1?? 1

113914= 2 . 162． 24

10112101523043．已知D=

?11?1,则A41?A42?A43?A44= —1 .

用1，1，1，1替换第4行

4．计算下列行列式： 1?ab1?bbcc1?c101b?1101b0?1?1?c1b?11?c(1)aa

= r1?r3,r2?r30a?1c3?c101?ca?1?a?b?c

xyx?yxx?yxy(2) yx?y

21?324?50?1?71?626(3)

101

12?10112134131(4)

010

5．计算下列n阶行列式：

xax?a????aa?x(1)Dn?a?a （每行都加到第一行，并提公因式。）

213?1????11?n?1(2)

1?1

a1?ba2a2?b?a2a3a3?a3????anan?an?ba1?a1(3)

练习三

班级学号姓名 ??x1?x2?x3?1?1．设线性方程组?x1??x2?x3?1有惟一解，则?满足的条件是什么？

??x?x??x?123?1

???1,??0,??1

?x1?x2?x3?x4?5??x1?2x2?x3?4x4??22. 求解线性方程组?

?2x1?3x2?x3?5x4??2?3x?x?2x?11x?0234?1

??x1?x2?x3?0?3.已知齐次线性方程组??x1??x2?x3?0有非零解，求?的值。

??x?x??x?023?1

???1,??0,??1

4.求三次多项式f(x)?a3x3?a2x2?a1x?a0，使得：

f(?2)?3,f(?1)?4,f(1)?6,f(2)?19。

自测题

1. n阶行列式D=det(aij)，则展开式中项a12a23a34?an?1,nan1的符号为(?1)n?1.

2.已知3阶行列式det(aij)=

11?24?812481xxx2312，则行列式det(?2aij)=(?2)3?12??4.

3.方程

111?0的根为 1,2，-2 .

??x?y?z?0?4. 已知齐次线性方程组??x?3y?z?0仅有零解，则?的值应为??0,??1.

??y??z?0???013?11?1?2?(??1)?0,

2xxx2111x12?11x1315.设D?，则D的展开式中x的系数为 -1 .

6. 计算下列行列式：

1?34?2?320682923（1）

?323

12222?2223?2?????222 ?n（2）Dn?2?2

第二章矩阵及其运算

练习一

班级学号姓名 ?1?1.设A?1??1?11?11??1???1,B??1????01??2?253??4,求3AB?2A及ATB。 ?1??

2.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。由题意，得：AT?A,BT?B.

3. 矩阵A和B满足什么条件时，(A?B)?A?2AB?B恒成立？

222

恒成立的条件是：AB=BA.

4.设A??1??1???3?,B?1,求AB，BA及(BA)100。

???0???2

??1??BA?1??0??220?3??3 ?0??(BA)100 9

5.设A???1?20?23k?，求A,A,?,A。 1?

练习二

班级学号姓名 1.求下列矩阵的逆矩阵：（1）??1?22?? 5?

?1?（2）?0?0?210?3??2 ?1??

2.设方阵A满足A2?A?2E?0，证明A及A?2E都可逆，并求A?1及(A?2E)?1。

?1?3.已知A??0?0?0?200??0，A?BA?2BA?8E，求B。 ?1??

4. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A?，证明：（1）若A?0，则A??0；（2）A??An?1。

5. 设P?1??1AP??,其中P???1?4???1?,???1??00?11?,求A。 2?

练习三

班级学号姓名 ?3?41.设A???0??04?30000220??0?，求A8及A4。 0??2?

2.求下列逆矩阵：

?1?（1）?0?0??0230000230??0?0??4??1

?O（2）??BA??，其中n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆。 O??1

自测题

一．填空题： 1．若A???1?32??0,P???4??11??320072008那么=,PAP??0??14??. 2?

T-122．A、B为三阶矩阵，A??1，则（B?2，2AB）= 8 .

?a2fx）=x?3x?5,A??3．已知（?0?a2?3a?50??,则f(A)=?b?0???. 2b?3b?5?0

4．若A、B、C均为n阶矩阵，且AB?BC?CA?E，则A2?B2?C2= 3E .

5．?是三维列向量，??T?1???1??1??11?11?T??1，则??= 3 . ?1??

???a?b?c?3

?1二．用初等变换法求A???2??1??511?52???3的逆矩阵. ?1??T222

A?1?4??1??1?5107??1 ??1??

?1?三．设矩阵A?1??0?0110??0，求An. ?1??

四．证明：n阶矩阵A对称的充分必要条件是A?AT对称。

?1五．A、B为三阶可逆矩阵，2A?1B?B?4E，若B??1??1??2200??0，求A. ?2??

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

练习一

班级学号姓名 1．判断题（正确打√，错误打×）：

1）某矩阵的行（列）阶梯形矩阵是唯一的（ × ） 2）某矩阵的行（列）最简形矩阵不是唯一的（ × ） 3）某矩阵的标准形矩阵不是唯一的（ × ） 4）矩阵的初等变换都有逆变换，且逆变换与原变换同属一类（ √ ） 5）任何一个矩阵总能通过初等变换化为标准形（ √ ）

?x1?2x2?x3?x4?1?2．已知线性方程组?2x2?2x3?6x4?2，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变

?2x?3x?2x??924?1换化为阶梯形、行最简形。

3．已知A???2?1?130??，将A化成标准形。并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。 2?

?0?4．已知A?2???3?2?131??3，利用矩阵的初等变换，求A?1。 ??4??

??5???1??3?113?67??2 ??4??A?1

?1?5．已知A?0???1??1100???1，AX?2X?A，求X。 ?1??

练习二

班级学号姓名 1.选择题：

1）Am?n的行阶梯形中只有前r（r＜m 且r＜n）行为非零行，则R(A)为（ C ）（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.

2）非零矩阵Am?n（m＜n）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为（ D ）（A）??Em?00??0；（B）??0?m?n?00??0；（C）??Em?m?n?00??1；（D）??0?m?n?00? ?0?m?n3）方阵An的秩R(A)= n，则An必定不满足（ D ）（A）An可逆；（B）An与E等价；（C）R(A?)?n；（D）存在B?O,使AB?O 4）An为奇异矩阵，下列的错误的是（ C ）（A）R(A)?R(AT)；（B）R(A)?n；（C）A??0；（D）An不与单位阵E等价 ?3?2. 已知矩阵A??1?1?1?1302?42???1，求R(A)。 ?4??

R(A)=2

?1?3.设A???1?k??22k?23k???3，问k为何值时，可分别使（1）（2）（3）R(A)=1；R(A)=2；R(A)=3？ ?3??

4.已知n阶方阵A，使A?2E为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。

练习三

班级学号姓名 1．选择题：

1）当（ D ）时，齐次线性方程组Am?nx?0一定有非零解。

（A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n . 2）设A为n（≥2）阶方阵，且R(A)=n-1，?1,?2是Ax?0的两个不同的解向量，k为任意常数，则Ax?O的通解为（ C ）

（A）k?1；（B）k?2；（C）k(?1??2)；（D）k(?1??2). 2．填空题:

1）设4阶方阵A?(?1?2?3?4)，且???1??2??3??4，则方程组Ax??的一个解

向量为(1?11?1)。

? 2）设方程组A(n?1)?nx?b有解，则其增广矩阵的行列式Ab= 0 。 ?x1?x2??x2?x3 3）若??x3?x4?x?x?41??a1?a2??a3?a44有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件

?ai?1i?0 。

?1? 4）已知方程组?2?1?23a??x1??1??????a?2x2?3无解，则a= -1 。

??????????2???x3??0?1 20

?1?2??1?23a???11??1??a?23??0???20????0??2?10???11??a1?

??(a?3)(a?1)a?3????x1?x2?x5?0?3．求齐次线性方程组?x1?x2?x3?0的解。

?x?x?x?045?3

?14．解矩阵方程：??2233??1X???1??00?? 1?

??x1?x2?x3?1?5．?取何值时，非齐次线性方程组?x1??x2?x3??（1）有唯一解；（2）无解；（3）有

?2?x1?x2??x3??无穷多解？并在有解时，求解。解：

???A?1??1?1111??r1?r3??????2????1??1???1?112???1?1??1????1?1?r2?r1?r????03??r1?0??1?r3?r2?????0?0??1???0?0?1?1??1??2??11??1?2?????31?????2?1??2????2??10??2???? 321?????????2?1??(2??)(1??)??10???(1??)?2?(1??)(1??)??2??1?（1）当???2,??1时，有唯一解；A??0???0???1????0???0?110001???????1??2??2??(1??)?????0??2??2(1??)????0??2??110(1??)??113???????

2?(1??)????2?2?(1??)22010001???1??2??????x1????2??2??21??(1??) ?x????2???2??2??22(1??)(1??)????x3???2??2??（2）当???2时，无解；

?1?（3）当??1时，有无穷多解。A??0?0??x1?x?2?x?31001001??0， ?0?????1???1??1?????????c11?c20?0，c,c???????（其中12是任意实数） ??0??1??0???????? 22

自测题

1．选择题：

1）设A为n（≥2）阶奇异方阵，则方程组Ax?O A中有一元素aij的代数余子式Aij?0，的基础解系所含向量个数为（ B ）

（A）i；（B）1；（C）j；（D）n.

??x1?x2??2x3?0?2）方程组?x1??x2?x3?0的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵B?O，

?x?x??x?023?1使得AB?O，则（ A ）

（A）??1，B?0；（B）??1，B?0；（C）??1，B?0；（D）??1，B?0.

Bx?O有相同的基础解系?1,?2,?3，3）设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组Ax?O，

则以下方程组以?1,?2,?3为基础解系的是（ D ）

（A）(A?B)x?O；（B）ABx?O；（C）BAx?O；（D）?2．判断题:

1）初等矩阵与初等变换是一一对应的（ √ ） 2）任一秩为r的矩阵A必与??Er?OO??等价（ √ ） O??A??x?O. B??3）Ax?O与ATAx?O为同解方程组（ √ ） 4）方程组Ax?b有无穷多个解的充分必要条件是Ax?b有两个不同的解（ √ ） 3．设n阶方阵A的列向量为?i（i=1，2，3，…，n），n阶方阵B的列向量为

?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1，试问：当R(A)?n时，Bx?O是否有非零解？

试证明你的结论。

4．若齐次线性方程组Am?nx?O的解均为齐次线性方程组Bl?nx?O的解，试证明R(A)?R(B)。

?x1?x2?x3?0?x1?x2?05．求方程组?与?的非零公共解。

?x2?x4?0?x2?x3?x4?0解： ?1?0A???1??011?11001?1110000100??1???10r?r31???????00???1??00??1???10r?r12???????0?2???0??011?210100001?100100??1???10r?2r32??????r4?r2?00???1??01???1? ?2??0?1100001?10???1??2??2??1?0r4?r3??????0??0??x?1非零公共解为?x2??x3?x?4????1????c?1?（c?0,c是任意实数）

????2??????

6．设非齐次线性方程组Am?nx?b的系数矩阵Am?n的秩为r，?1,?2,?,?n?r是Am?nx?0的一个基础解系，?是Am?nx?b的一个解。证明：Am?nx?b的任一解可表示为

x?k1(?1??)?k2(?2??)???kn?r(?n?r??)?kn?r?1?,(k1?k2???kn?r?1?1)

7．设?1,?2,?3,?4,?为四维列向量，A?(?1,?2,?3,?4)，已知Ax??的通解为 ?1??1???1??1???1????????????12112??k???k??，其中??，??为对应的齐次方程组的基础解系，k,k为x??1212?2??0??1??0??1???????????11001??????????任意常数，令B?(?1,?2,?3)，试求By??的通解。

第四章向量组的线性相关性

练习一

班级学号姓名

1．已知向量???1,1,0,?1?,????2,1,1,2?,????1,2,0,1?，试求向量??3??2???. 解：??3??2????3?1,1,0,?1??2??2,1,1,2????1,2,0,1??(6,3,?2,?6) 2．已知向量组A:?1??0,1,2,3?,?2??3,0,1,2?,?3??2,3,0,1?,

但AB:?1??2,1,1,2?,?2??0,?2,1,1?,?3??4,4,1,3?,证明B组能由A组线性表示，组不能由B组线性表示。解： ?0?1AB???2??3?1?0?????0??0010030123?6204230121121?1510?211?25?15?34??1??40??????01???3??0031232?6?801003?64012?1?11?110?20574??4??7???9??25?304???7? 5??0?TTTTTT4??1???70??????025???5??0R(A)?3?R(AB)，所以B组能由A组线性表示。

?2?1?BA??1??2?1?0?????0??011000?2111?10044132101233012101?12??1??30??????00???1??00??1???10??????00???0??01?3?2?1110013211?1002?1?4?121201?11010?100??3?2??1?0???1? 0??0??22R(B)?2,R(BA)?3，所以A组不能由B组线性表示。

3．设?可由?1,?2,?,?m线性表示，但不能由?1,?2,?,?m?1线性表示，证明：??1,?2,?,?m?1,?线性表示，而不能由?1,?2,?,?m?1线性表示。

m可由

4．已知?1??1,4,0,2?,?2??2,7,1,3?,?3??0,1,?1,a?,???3,10,b,4?，问：（1）a,b取何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？

（2）a,b取何值时，?可由?1,?2,?3线性表示？并写出此表达式。解：

?1?4?A?????1,?2,?3,?????0??227133??1??1100??????0?1b???a4??002?11?101?1a3???2?b???2?TTTT

?1?0?????0??021000?10a?1??1??20??????0b?2???0??0321000?1a?10??2? 0??b?2?3（1）当a?1,b?2或a?1,b?2时，R(A)?R(A?)，?不能由?1,?2,?3线性表示。

?1?0（2）当a?1,b?2时， ?A???????0??021000?1a?103??1??20??????00???0??001000010?1??2? 0??0?R(A)?R(A?)?3，?可由?1,?2,?3线性表示，????1?2?2?0??3 ?1?0当a?1,b?2时，?A???????0??021000?1003??2????0??0??1?0??0??001002?100?1??2?， 0??0?R(A)?R(A?)?2，?可由?1,?2,?3线性表示。

??(?1?2k)?1?(2?k)?2?k??3（k?R）

练习二

班级学号姓名

1．判断向量组?1??1,1,0,0?,?2??0,1,1,0?,?3??0,0,1,1?,?4???1,0,0,1?的线性相关性。

TTTT

2．讨论向量组?1??1,1,0?,?2??1,3,?1?,?3??5,3,t?的线性相关性？即t取何值时，向量组线性无关？t又取何值时，向量组线性相关？

TTT

3．已知向量组?1,?2,?3线性无关，判断2?1?3?2,?2?3?3,?1??2??3的线性相关性。

4．如果向量?可以用向量组?1,?2,?,?r线性表示，试证表示方法是唯一的充要条件是?1,?2,?,?r线性无关。

练习三

班级学号姓名

1．已知向量组?1??1,2,3,4?,?2??2,3,4,5?,?3??3,4,5,6?,?4??4,5,6,7?，求该向量组的秩。

2．求向量组?1??1,?1,2,4?,?2??0,3,1,2?,?3??3,0,7,14?,?4??1,?2,2,0?的秩和最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。

?1?3?3．利用初等行变换求矩阵?2??4313124434??2?的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量2??9?用最大无关组线性表示。

4．设A为n阶矩阵（n≥2），A?为A的伴随矩阵，证明：

?n,当R(A)?n??R(A)??1,当R(A)?n?1

?0,当R(A)?n?2?

练习四

班级学号姓名 x1?x2?3x4?x5?0??x1?x2?2x3?x4?x5?0?1．求齐次线性方程组?的基础解系。

?4x1?2x2?6x3?5x4?x5?0?2x?4x?2x?4x?16x?02345?1

?x1?3x2?3x3?2x4?x5?3??2?2x1?6x2?x3?3x42．求非齐次线性方程组?的通解。

x?3x?2x?x?x??12345?1?3x?9x?4x?5x?x?52345?1 31

3．已知?1,?2,?3是四元非齐次线性方程组Ax?b的解，R(A)?2，且 ?1??1??2???????201??????,求该方程组的通解。 ?1??2?,?2??3?,?3??1??0???1??2???????12?????3?

?4．设?是齐次线性方程组Ax?b的一个解，?1,?2,?,?n?r是对应的齐次线性方程组的一

?????个基础解系，证明：（1）?,?1,?2,?,?n?r线行无关；（2）?,???1,???2,?,???n?r线行无关。

练习五

班级学号姓名 1．试判定集合V??(x1,x2,?,xn)x1?x2???xn??1,xi?R?是否构成向量空间？

2．求向量空间R4的基?1??1,2,?1,0?,?2??1,?1,1,1?,?3???1,2,1,1?,?4???1,?1,0,1?到基?1??2,1,0,1?,?2??0,1,2,?2?,3???

2,1,1,?4,???21,3,2的过渡矩阵和向量的?1,坐标变换公式。

自测题

一、选择题：

,?与向量组（2）1．设向量组（1）：?1,?：?1,?2等价，则（ A ）。 23（A）向量组（1）线性相关；（B）向量组（2）线性无关；（C）向量组（1）线性无关；（D）向量组（2）线性相关。 2．设n维向量组?1,?2,?,?m线性无关，则（ B ）。

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关；（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；

（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关；（D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。 3．设三阶行列式D?aij?0，则（ A ）。（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合；（B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；

（C）D中至少有两行向量线性相关；（D）D中每一行向量都线性相关。 4．设A:?1,?2,?,?4是一组n维向量，且?1,?2,?3线性相关，则（ D ）。（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。 5．设?不能由非零向量?1,?2,?,?s线性表示，则（ D ）。

（A）?1,?2,?,?s线性相关；（B）?1,?2,?,?s,?线性相关；

（C）?与某个?i线性相关；（D）?与任一?i都线性无关。二、填空题：

1．设n维向量?1,?2,?3线性相关，则向量组?1??2,?2??3,?3??1的秩r= 0，1，2 。 2．向量组?,?,?线性相关的充分必要条件为秩<3 。

3．设?1,?2线性无关，而?1,?2,?3线性相关，则向量组?1,2?2,3?3的极大无关组为 ?1,?2 。

4．已知?1??1,3,2,4?,?2??2,6,k,8?线性相关，则k= 4 。

5．已知向量组?,?,?线性相关，而向量组?,?,?线性无关，则向量组?,?,?的秩为 2 。 ??1??1??2??3?三、已知??2??1??2?2?3，证明?1,?2,?3与?1,?2,?3等价。

?????2??3?123?3

?a???2???1??1?????????四、设有向量组A:?1??2?,?2??1?,?2??1?，又向量???b?，试问当a,b,c满

?10??5??4??c?????????足什么条件时，则：

（1）?可由?1,?2,?3线性表示，且表示式唯一；（2）?不能由?1,?2,?3线性表示；

（3）?可由?1,?2,?3线性表示，但不唯一，并求一般表达式。

（1）

（2）

（3）

五、已知?1,?2,?,?s及?都是n维向量，且???1??2????s，证明向量组???1,???2,?,???s线性无关的充分必要条件是向量组?1,?2,?,?s线性无关。

六、设n维向量组（1）：?1,?2,?,?s的秩为r1；（2）?1,?2,?,?s的秩为r2；（3）?1??1,?2??2,?,?s??s的秩为r3。证明：r1?r2?r3。

?(2??1)x1??x2?(??1)x3???1?七、?取何值时，线性方程组?(??2)x1?(??1)x2?(??2)x3??有惟一解、无解、无

?(2??1)x?(??1)x?(2??1)x??123?穷多解？在有无穷多解时求通解。

八、已知a1,a2,a3为三维向量空间R3的一个基，设

b1?2a1?3a2?3a3,b2?2a1?a2?2a3,b3?a1?5a2?3a3,

（1）证明：b1,b2,b3也是R3的一个基；

（2）求由基b1,b2,b3到a1,a2,a3的过渡矩阵；

（3）若向量?在基a1,a2,a3下的坐标为?1,?2,0?，求?在基b1,b2,b3下的坐标。

第五章相似矩阵及二次型

练习一

班级学号姓名练习二

班级学号姓名

练习三

班级学号姓名练习四

班级学号姓名练习五

班级学号姓名

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