12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD

CE=CE ∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS） ∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

E D C F A B

AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE， ∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得：AE=BD， ∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC， ∴∠F=∠C。

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

A D B C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则： △AED是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD

∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

C A

P B D

在AC上取点E， 使AE＝AB。 ∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE， ∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB。

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线， ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD ∴点E也是BD的中点