第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
第十章 曲线积分与曲面积分答案
一、选择题 1．曲线积分
x??f(x)?e?L??sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导数，
且f(0)?0，则f(x)?（ ） (B) (2分，难度：三级)
(A).
1?xx11(e?e) (B). (ex?e?x) (C). (ex?e?x) (D).0 2222．闭曲线C为x?y?1的正向，则
?ydx?xdy?（ ） (C) (2分，难度：二级) ??x?yC (A).0 (B).2 (C).4 (D).6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则
?ydx?xdy? ( ) D (2分，难度：二级) 22??4x?yC(A).?2? (B). 2? (C).0 (D). 4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则级)
(A).0 (B). 5．设C:x2?y2?a2，则
2?
??(x?2?y2?z2)ds?（ ） (D) (2分，难度：二
? (C). ? (D). ?
22(x?y)ds? （ ）(C) (2分，难度：一级) ??C1412(A).2?a (B). ?a (C). 2?a (D). 4?a 6. 设?为球面x?y?z?1，则曲面积分
222233??1??dSx?y?z222的值为（ ） (B)
(2分，难度：一级)
(A).4? (B).2? (C).? (D).?
7. 设L是从O(0,0)到(B)(1,1)的直线段，则曲线积分
12?Lyds?（ ）(C)
(2分，难度：一级)
(A). 8. 设I=?L1122 (B). ? (C). (D). ? 2222yds 其中L是抛物线y?x2上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,
则I=（ ）(D) (2分，难度：一级)
- 1 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
(A).
555555?155?1 (B). (C). (D). 6126129. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 ?，那么
? 是（ ）(D)
(2分，难度：一级)
11xdx?ydyydy?xdx； ； (B). 2?l2?l11 (C). ?ydx?xdy； (D). ?xdy?ydx。
2l2l (A).
10．设S:x2?y2?z2?R2(z?0)，S1为S在第一卦限中部分，则有（ ）(C)
(2分，难度：一级)
(A).(C).
??xds?4??xds (B).??yds?4??yds
SS1SS1??zds?4??zds (D).??xyzds?4??xyzds
SS1SS111．设?为曲面z?2?(x2?y2)在xoy平面的上方部分，则??ds=（ ） (D)
? (2分，难度：二级)
(A).
?2?0d??r021?4rrdr (B).
202?2?0d??201?4r2rdr
2(C).
?2?0d???2?r?1?4rrdr (D).
2?2?0d??01?4r2rdr
?上的曲线积分有关系（ ）(B) (2分，难度：一级) 12. 曲线弧?AB上的曲线积分和BA
(A).
?ABf(x,y)ds???f(x,y)ds (B).
BA?ABf(x,y)ds??BAf(x,y)ds
(C).
?ABf(x,y)ds??f(?x,y)ds?0 (D).
BA?ABf(x,y)ds??f(?x,?y)ds
BA?13．设?为曲面z?2?(x2?y2)在xoy平面的上方部分，则??zds=（ ）(D)
(2分，难度：二级)
2(A).
?2?0d??2?r202(2?r2)1?4r2rdr (B).
2?2?0d??(2?r2)1?4r2rdr
0(C).
?2?0d??0?2?r?rdr (D). ?2?0d??(2?r2)1?4r2rdr
02x2y214．设C表示椭圆2?2?1,其方向为逆时针方向，则曲线积分?(x?y2)dx=（ ）?abL(B)
(2分，难度：二级)
- 2 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
22(A).?ab (B). 0 (C). a?b (D). ??ab
???x?cost,15．设C的曲线方程为?0?t?,则?x2ydy?y2xdx=（ ）(C)
2c??y?sint, (2分，难度：一级)
?(A).
?20(costsint?sintcost)dt
??dtdt(B). ?2costsint? ??2sintcost?002sint2cost1?(C)．?2dt
20?(D)．
?20(cos2t?sin2t)dt
则I?16．设?为球面x2?y2+z2=R2下半球面的下侧，??zdxdy=（ ）(B)
? (2分，难度：二级)
(A).??2?0d??R0RR2?r2dr (B). R2?r2rdr (D).
??2?02?d??d??R0RR2?r2rdr R2?r2dr
(C). ??2?0d??00017．设f有连续的一阶导数，则?(1,2)(0,0)f(x?y)dx?f(x?y)dy? （ ）(B)
(2分，难度：三级)
3(A).2?10f(x)dx (B).
?0f(x)dx
(C). f(3)?f(0) (D). 0
18．设C为正方形|x|?|y|?a(a?0)的边界，则曲线积分??xyds=（ ）(A)
C (2分，难度：二级)
(A).0 (B). 42?21?1?1??1?1?1a?? (C)．4?a?? (D)．42?a??
3?3?3??2?2?2219．设L是圆域D：x?y?-2x的正向周界，则
??L(x3?y)dx?(x?y3)dy=（ ）(D)
(2分，难度：二级)
- 3 -
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(A). ?2? (B). 0 (C)．20．设L为x?x0,0?y?3? (D)．2? 232,则
?4dsL的值( ). (B)
(2分，难度：一级)
(A). 4x0 (B). 6 (C). 6x0 (D). 4 21.设L为直线y?y0上从点A(0,y0)到点B(3,y0)的有向直线段,则
?2dyL=(
(2分，难度：一级)
(A). 6 (B). 6y0 (C). 0 (D).-6y0 22. 若L是上半椭圆??x?acost,取顺
?y?bsint,,则
?Lydx?xdy的
( ).
(C)
(2分，难度：二级)
(A).0 (B).
?ab 2在
(C).?ab (D).??ab
23、设P(x,y),Q(x,y)D内有一阶连续偏导数,则在D内与?Pdx?QdyL路径无关的条件
?Q?P?,(x,y)?D是( ).(C) (2分，难度：一级) ?x?y (A).充分条件 (B).必要条件 (C).充要条件 (D).充分非必要条件 24、设?为球面x?y?z?1取外侧,?1为其
222,则( )式正确. (B)
(2分，难度：一级) (A).
??zds?2??zds??1??1 (B).
??zdxdy?2??zdxdy??133zds?2z????ds ??12
(C). 25、若?22zdxdy?2z????dxdy.
为球
x2?y2?z2?R2的
,则
??x?y2zdxdy等于( ). (B)
(2分，难度：一级)
(A).
Dxy2222222222xyR?x?ydxdyxyR?x?ydxdy (B). 2????Dxy (C). 0 (D). ?2
Dxy22222xyR?x?ydxdy ??- 4 -
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226、曲面积分
2??zdxdy?在数( ). (C) (2分，难度：一级)
?(A).向量zi穿过?(C).向量zk穿
2?的流 (B).面密度为z22的
?的质量 ?的
??的流量 (D). 向量zj穿
27、设?是
x2?y2?z2?R2的外侧,Dxy是xoy面的圆域x2?y2?R2,下述等式
正确的是( ). (C) (2分，难度：二级) (A)
2222222??xyzds???xyR?x?ydxdy (B)?Dxy2222(x?y)dxdy?(x?y)dxdy ?????Dxy (C)
222zdxdy?2R?x?ydxdy (D)??zdxdy?0 ?????Dxy?28、若?是空间区域?的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( ). (B)
(2分，难度：一级) (A).
?外侧???x2dydz?(z?2y)dxdy =???(2x?2)dxdydz；
?3 (B).
?外侧???(x?yz)dydz?2x2ydzdx?zdxdy=???(x2?1)dxdydz；
? (C).
?内侧???x2dydz?(z?2y)dzdx=???(2x?1)dxdydz?2.
(D).
?内侧???xdzdx?(z?2y)dxdy=???(2x?1)dxdydz?.
29．设?是曲面z?x2?y2与平面z?1,z?2所围空间立体的表面取外侧， 则
???ez?x?y22dxdy=（ ）(B) (2分，难度：三级)
2222 (A). 2?(e?e) (B).2?e (C).?2?e (D). 4?e
30．设L是上半圆y?Rx?x2上从点A(R,0)到O(0,0)的弧段(R?0)，且曲线积分（下式中k为常数）
?L(exsiny?ky)dx?(excosy?k)dy=（ ）(C)
(2分，难度：三级)
k?R2k?R2k?R2k?R2 (A). (B). (C). (D).
46810- 5 -
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31．设l:??x??(t)（ ）． (A) (??t??,)那么曲线积分计算公式?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=
l?y??(t)(2分，难度：一级) (A)． (B)． (C)． (D)．32.设I???[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]dt
L???????yxdx?dy，则( ) （B） (2分，难度：二级)
x2?y2x2?y2
（A）对任意分段光滑的闭曲线，有I?0；
（B）在L不包含原点时，I?0，其中L是任意分段光滑闭曲线；
?P?Q和（C）因为在原点不存在，故对任何分段光滑闭曲线L，I?0； ?y?x（D）在L包含原点时I?0，在L不包含原点时I?0.
33. 设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．(A)
(2分，难度：二级)
(A)．(C)．
??C3yx2dx?x3dy (B)．?ydx?xdy
CC2xydx?x2dy (D)．?3y2xdx?y3dy
C34. 若P(x,y)及Q(x,y)在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D内，曲线积分． (B) (2分，难度：一级) ?Pdx?Qdy与路径无关的充分必要条件是（ ）
l(A)．在域D 内恒有
?P?Q?Q?P?? (B)．在域D 内恒有 ?x?y?x?y(C) 在域D 内恒有
?Q?P??0 ?x?y (D)．在D内任一条闭曲线l?上，曲线积分35.设曲面?:|x|?|?Pdx?Qdy?0
l?y|?|z|?1,则??|xyz|ds =( ) (B) (2分，难度：三级)
?(A).0 (B).
3 (C). 83 (D). 43 15- 6 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
36．设?是yoz平面上的圆域y2?z2?1,则
??(x?2?y2?z2)dS=（ ）（D）
(2分，难度：二级)
(A)0; (B) ?; (C )
二、填空题
1. 设L是以(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分
11?; (D ) ?. 42??ydx-(eLy2+x)dy= -2 (2分，难度：二级)
2.S为球面x2?y2?z2?a2的外侧,则??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy?0
s (2分，难度：一级) 3．
ydx-xdy =?2? (2分，难度：二级) 22??x+yx2+y2=14．曲线积分I???(xC2?y2)ds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则I?2?a3
(2分，难度：一级)
5．设∑为上半球面z?4?x2?y2?z?0?，则曲面积分???x2?y2?z2?ds= 32π
? (2分，难度：二级)
6. 设曲线C为圆周x?y?1,则曲线积分
22???xC2?y2?3x?ds? 2? . (2分，难度：二级)
7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分
?C(x?y)ds?1+的值为 ?。
2 (2分，难度：二级)
8. 设?为上半球面z?4?x2?y2，则曲面积分???ds1?x2?y2?z283 (2分，难度：二级)
9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z?f(x,y)的面积是
- 7 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
S???1?(D?z2?z2)?()d? ?x?y(2分，难度：一级)
10．设L是抛物线y?x3上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(2x-4y)dx? 12 ?L(2分，难度：一级)
11、设?为螺旋线x?cost,y?sint,z?3t上相应于t从0到?的一段弧，
则曲线积分I??(x2?y2?z2)ds? 2??1??2? . (2分，难度：二级)
?12、设L为x2?y2?a2的正向，则
/////////////////////
xdy?ydx??Lx2?y2? 2? .(2分，难度：二级)
13、设?是柱面x2?y2?4,介于则 1?z?3之间的部分曲面，它的法向指向OZ轴一侧，则
???x2?y2?z2dxdy= 0 (2分，难度：一级)
14、设L是单连通域上任意简单闭曲线取顺时针方向，a,b为常数，则
??adx?bdy=0 .(2分，难度：一级)
L15、设?是x?y?z?a的内侧(a?0),则
2222???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy=?125?a 5.(2分，难度：二级)
?x2?y2?z2?1,其方向由x轴正向看去为逆时针方向，则 16．设曲线L为?z?z(|z|?1),00??L(x2?yz)dx?(y2?xzdy)?(z2?xy)dz=0 (2分，难度：二级)
2217．已知曲面?：z?x?y(z?1)，则
???1?4zdS=3? (2分，难度：二级)
18． 若?为光滑封闭曲面，V为其所围立体的体积，cos?,cos?,cos?为?的外法线的方向余弦，则曲面积分
????(xcos??ycos??zcos?)dS= 3V . (2分，难度：二级)
19．设C为x?y?a(a?0)的边界，则
??xyds? 0 (2分，难度：二级)
C20．设C为以A(1,1),B(2,2),C(1,3)为顶点的三角形的正向边界曲线，则曲线积分
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
222I=??2(x?y)dx?(x?y)dy??C4 (2分，难度：二级) 3
2321. 设L：2x2?y2?1，则曲线积分??L3xsinydx?xcosydy＝ 0 。
(2分，难度：一级)
t2t322．某物质沿曲线C：x?t，y?，z?（0≤ｔ≤1）分布，其线密度为??2y，
23则它的质量M可用定积分表示为
?10t1?t2?t4dt 。
(2分，难度：二级)
23．若
(x?y)dx?(x?y)dy22(x?y?0)为某函数的全微分，则m? 1 。 22m(x?y)(2分，难度：二级)
24．设C为抛物线y?1?x上自点A(?1,0)到点B(1,0)的一段弧，则曲线积分
2?AB222(x?y)dx?(x?y)dy的值为 . ?3 (2分，难度：二级)
25、设S:x?y?z?R，则
2222???S4?R4xds?. (2分，难度：二级)
32x2?y2?1，其周长为s，则?26．L是曲线xy?x2?4y2ds=4s ． ?4L??(2分，难度：二级)
27．L是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为A，则
?2xdy?5ydx?3A ．
L(2分，难度：二级)
28. 曲线积分?(1,1)(0,0)(x3?2xy)dx?(x2?2y4)dy的值为
17 20(2分，难度：三级)
29．设F(x,y)为可微函数，则曲线积分?ABF(x,y)(ydx?xdy)与路径无关的
充要条件是 yFy?xFx
(2分，难度：三级)
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
x2x22?y?1上具有连续的二阶偏导数，L是椭圆?y2?1 30．设f(x,y)在44顺时针方向的曲线，则?[?3y?fx(x,y)]dx?fy(x,y)dy? ?6?
L(2分，难度：三级)
31．设?是由锥面z?个边界的外侧，则
x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整
??xdydz?ydzdx?zdxdy?2?(1??23)R. 2(2分，难度：三级)
?x?3t?32. 空间曲线?y?3t2从O(0,0,0)到(3,3,2)的弧长? 5
?z?3t3?(2分，难度：二级)
x2y2??1,其周长为a，则33． 设L为椭圆43??(2xy?3xL2?4y2)ds? 12a .
(2分，难度：二级)
三、计算题 1．eL?x2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?1，直线y?x及x轴在第一象限所围图形的边界。
（5分，难度：二级）
解：记线段OA方程y?x,0?x??x?cos?2?，圆弧AB方程?,0??? 24?y?sin?线段OB方程y?0,0?x?1。 ………………………………………………….. 2’
x2?y2x2?y2则原式＝
OA?eds＋
AB?eds＋
OB?ex2?y2ds＝?220e2x2dx＋?ed?＋?exdx…….4’
0?401＝2(e?1)??4e …………… 5’
?x?3costx2x(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy2. 计算?，其中l 为由点A(3,0)经椭圆?l?y?2sint- 10 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
的上半弧到点B(?3,0)再沿直线回到A的路径．
（4分，难度：二级）
解：由于l为封闭曲线，故原式可写成
x2x(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy ?l其中P?exsiny?3y?x2,Q?excosy?x，由格林公式
x原式=(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy?l?x2??[D?Q?P?]dxdy … ………….. 2’ ?x?y
=
xx[(ecosy?1)?(ecosy?3]dxdy ??D =
12dxdy2???3?2=6? … ………………………4’ =??2D3．y2dx?x2dy，其中L为圆周x2?y2?R2的上半部分，L的方向为逆时针。
?L（5分，难度：二级）
?x?Rcost解：L的参数方程为?，t从0变化到?。 ……………. 1’
y?Rsint? 故原式＝ ＝R3??0[R2sin2t(?Rsint)?R2cos2t(Rcost)]dt …………. 3’
4322?R …………. 5’ ＝[(1?cost)(?sint)?(1?sint)cost]dt?03?
224．求抛物面z?x?y被平面z?1所割下的有界部分?的面积。
（5分，难度：二级）
解：曲面?的方程为z?x?y,(x,y)?D，这里D为?在XOY平面的投影区域
22{(x,y)x2?y2?1}。 ……………. 1’
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
故所求面积＝
??D221?zx?zydxdy???D1?4(x2?y2)dxdy …………. 3’
??d??1?4r2rdr …………. 4’
002?1?
55?1? …………. 5’ 65、计算
? L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy,其中L为上半圆周(x?a)2?y2?a2,y?0,
（7分，难度：二级）
沿顺时针方向.
解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式
解 P?exsiny?my,Q?excosy?m,
?P?Q?excosy?m,?excosy …………. 2’ ?y?x如图,由格林公式
?故有
?L?OA(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy
???D??Q?P????x??y??dxdy?????Dmdxdy?m? a2 ………….4’ 2? ?L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy?? ?L?OA(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy y?? OA(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy
??Q?P????x??y??dxdy?0??D?所以 ?????Dmdxdy?m? a2………….6’ 2xOaAx? m2(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy??? a………….7’ L2x6．(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz，其中L为球面x2?y2?z2?1在第一
?L卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
（5分，难度：二级）
???的参数方程 AB解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧??x?0??t，t从变化到0。 ……………. 1’ ?y?cos2?z?sint?
于是
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
????AB?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz＝??[sin2t(?sint)?cos2t(cost)]dt＝
222222204 3 ……………. 3’
由对称性即得
222222222222(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz?3(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz?4 ??L????AB ……………5’ 7．
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy，其中?为平面x?y?z?1,x?0,y?0, z?0?所围立体的表面的外侧。
（6分，难度：二级）
解：记?1为该表面在XOY平面内的部分，?2为该表面在YOZ平面内的部分，
?3为该表面在XOZ平面内的部分，?4为该表面在平面x?y?z?1内的部分。 ?1的方程为z?0,0?y?1?x,0?x?1，根据定向，我们有
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy＝??(z?1)dxdy＝??1?10?x?10?y?1?x??1dxdy??
2……………. 1’
同理，
1 ……………. 2’ (x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????2?21 ……………. 3’ (x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????2?3
?4的方程为z?1?x?y,0?y?1?x,0?x?1，故
??(z?1)dxdy??40?x?10?y?1?x??(2?x?y)dxdy?2， ……………. 4’ 3
由对称性可得
??(x?1)dydz??42， ……………. 5’ (y?1)dzdx???3?4故
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy?2
?4- 13 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
于是所求积分为2?或：利用高斯公式
11?3? ……………. 6’ 22令P?x?1，Q?y?1,R?z?1，
?P?R?Q?1，?1 ……………. 3’ ?1 ， ?x?z?y
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????(???P?Q?R??)dv ……………. 4’ ?x?y?z11? ……………. 6’
?62x?y8．计算曲面积分：??(x?y?z)dydz?[2y?sin(z?x)]dzdx?(3z?e)dxdy，其中 ????3dv?3?S?S?为曲面x?y?z?1的外侧。
（6分，难度：二级）
解：利用高斯公式，
令P?x?y?z，Q?2y?sin(z?x), R?3z?ex?y
?P?R?Q?1，?3 ……………. 3’ ?2 ， ?x?z?y
所求积分等于
x?y?z?1???(?P?Q?R??)dxdydz??x?y?zx?|y|?z?1???(1?2?3)dxdydz ……………. 4’
8??=8 ……………. 6’ =6?9. 计算I=??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，其中S为x?y?z?1,x?0,y?0,z?0所围立体的
s表面外侧
（6分，难度：二级）
解：利用高斯公式，
令P?xy，Q?yz,R?xz
1132?P?R?Q?y，?x ……………. 3’ ?z ， ?x?z?yI????(??P?Q?R??)dxdydz???(x?y?z)dxdydz ……………. 4’ ?x?y?zV- 14 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
11?x1?x?y =?dx?dy?(x?y?z)dz ……………. 5’
000 =
10．计算I=1 ……………. 6’ 8?Γx3dx+3zy2dy-x2ydz,其中?是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB.
（4分，难度：二级）
解：直线段AB的方程是
xyz??；化为参数方程得： 321x?3t,y?2t,z?t t从1变到0， ……………. 1’
所以：
I=?Γ32xdx+3zyd2y- xydz ＝
＝87?01[(3t)3?3?3t(2t)2?2?(3t)2?2t]dt ……………. 3’
87 …………….4’ 4?(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy, 其中AMO是由点A(a,0) 至点
?01t3dt??11. 计算曲线积分I=
??AMOo(0,0) 的上半圆周x2?y2?ax
（5分，难度：二级）
解：在x轴上连接点o(0,0), A(a,0) 将?AMO扩充成封闭的半圆形AMOA
????xx在线段OA上, ??(esiny-2y)dx+(ecosy-2)dy=0 ……………. 1’
OA从而
??AMO=??+??=AMOOAAMOA??
又由Green公式得:
??AMOA(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy ……………. 3’
πa2=??2dxdy= ……………. 5’
422x+y?ax
- 15 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
12. 计算曲线积分?zdx?xdy?ydz其中L是z?2(x2?y2)与z?3?(x2?y2) 的交线
L333沿着曲线的正向看是逆时针方向
（5分，难度：二级）
解：将L写成参数方程:
x?cost,y?sint,z?2,t:0?2? ……………. 1’ 于是: =
?Lz3dx?x3dy?y3dz=?2?2??8sintdt?cos4tdt ……………. 3’ 00?3? ……………. 5’ 4令P?z，Q?x3,R?y3
3 另证：由斯托克斯公式得
?Lz3dx?x3dy?y3dz=??(3y2?0)dydz?(3z2?0)dxdz?(3x2?0)dxdy
? ……………. 3’
?:z?2,x2?y2?1上侧，则：
??Lzdx?xdy?ydz?3333332xdxdy?3d?rcos?dr?? ……………. 5’ ????004x2?y2?122?113. 设曲面S为平面x?y?z?1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I
（4分，难度：二级）
解：S在xoy平面的投影区域为：Dxy?(x,y)0?y?1?x,0?x?1 ……………. 1’
??I=??dS=??3dxdy …………. 3’
SDxy＝ ＝
??10dx?1?x03dy …………. 4’
103(1?x)dx?3 ………….5’ 2
14.计算曲线积分
?L(x?y)dx?(x?y)dyx2?y2其中L是沿着圆(x?1)2?(y?1)2?1 从点
A(0,1)到点B(2,1)的上半单位圆弧
（6分，难度：二级）
- 16 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
解：设P(x,y)?x?yx?y22， Q(x,y)?x?yx?y22
当x2?P?Qy2?x2?2xy?? …………. 2’ ?y?0时，
222?y?x(x?y)2故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关
则：?L
=?(15.确定?的值，使曲线积分
(x?y)dx?(x?y)dyx2?y2=
?????AB(x-y)dx+(x+y)dy ………….4’
x2+y212x?1)dx =ln5-arctan2 ………….6’
022x?12C??x?4xy??dx??6x??1y2?2y?dy在XoY平面上与路径无关。
当起点为?0,0?，终点为?3,1?时，求此曲线积分的值。
（5分，难度：二级）
解：由已知，P?x2?4xy?,Q?6x??1y2?2y； 由条件得
?P?Q??1??2? , 即 4?xy?6???1?x,??3, …………. 2’ ?y?x?3,1??0,0?????x0,0?3,1?2?1??4xy3?dx??6x2y2?2y?dy??x3?y2?2x2y3??3??26 …………. 5’
22216. 设曲面S为球面x?y?z?4被平面z?1截出的顶部，计算I=
1dS ??zS（5分，难度：二级）
解：S的方程为：z?4?x2?y2
S在xoy平面的投影区域为：Dxy?(x,y)x2?y2?3
I=
=
??122×1+z+zdxdy …………. 1’ xy??zDxy2dxdy ………. 3’ 22??4-x-yDxy- 17 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
＝
17. 计算I=
?2?0d??302rdr ＝4?ln2 …………. 5’ 4?r2??yzdydz??xzdzdx?(x?y?z)dxdy，其中?是x2?y2?(z?a)2?a2，
0?z?a，取下侧
（6分，难度：二级）
解：作辅助曲面?1:z=a，(x2?y2?a2)取上侧 …………. 1’ 设?为x2?y2?(z?a)2?a2,z?a所围闭区域
Dxy为平面区域x2?y2?a2
I?(???1??????)yzdydz?xzdxdz?(x?y?z)dxdy …………. 3’
?1 =
???dxdydz??Dxy??(x?y?a)dxdy=
23?a?a??dxdy 3Dxy(??(x?y)dxdy?0)
Dxy=??a …………. 6’ 18. L为上半椭圆圆周?133?x?acost，取顺时针方向，求?ydx?xdy.
L?y?bsint（4分，难度：二级）
解：
?Lydx?xdy??[bsint?(?asint)?acost?(bcost)]dt
?0 …………. 2’ ??ab??dt …………. 3’
0 ?ab? ………. 4’
＃ 19．计算曲面积分
222z?x?y，其中为锥面与z?1所xdydz?ydzdx?(z?2z)dxdy?????围的整个曲面的外侧。
（5分，难度：二级）
解：
由高斯公式，可得
- 18 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
I?z???(1?1?2??1?2d)v …………. 2’
?2???zdv
?2?d???d??zdz …………. 4’
002?1?
??2 …………. 5’
x2y220．计算曲线积分I???L(y?e)dx?(3x?e)dy，其中L是椭圆a2?b2?1的正向。
xy（5分，难度：二级）
解：令P?y?e,
xQ?3x?ey, 则?Q??P?2?x?y。 …………. 2’
设L所围成的闭区域为D，则其面积???ab。 从而由格林公式可得
xyI??(y?e)dx?(3x?e)dy. ?L???2dxdy ………. 4’
D?2?ab …………. 5’
21．设?为柱面x?z?a在使得x?0，y?0的两个卦限内被平面y?0及y?h所截下部分的外侧，试计算I?222??xyzdxdy。
?（6分，难度：二级）
解：将?分成?1与?2，其中?1：z?a2?x2（取上侧），
， …………. 2’ ?2：z??a2?x2（取下侧）?1与?2在xoy面上的投影为Dxy:0?x?a,0?y?h
??1?2，故
??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy …………. 3’
???xya2?x2dxdy???xy(?a2?x2)dxdyDxyDxy …………. 4’
- 19 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
?2??xya2?x2dxdy?2?dx?xa2?x2?ydy …………. 5’
Dxy00ah1?a3h2. …………. 6’ 3
＃ 22．计算曲面积分I?222，其中是柱面x?y?4介于0?z?6的部分。 zdS????（6分，难度：二级）
解：设?1为?在第一卦限的部分曲面。?1:x?4?y2,?x?y?x?,?0， ?y4?y2?z …………. 2’
??x???x?2dydz dS?1??。 ………. 4’ ?dydz????24?y??y???z?
22?1在yoz面上的投影域为Dyz:0?y?2,0?z?6。
故 ??zdS?4??zdS?4????1Dyz222z24?y2dydz?8?214?y0dy?z2dz?288?. …. 6’
206
23. 计算曲面积分I?1222z?(x?y)介于，其中是旋转抛物面(z?x)dydz?zdxdy???2?（7分，难度：二级）
z?0及z?2之间部分的下侧。
解：利用高斯公式，取?1:z?2且x?y?4。取上侧，?与?1构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为?，?1对应的Dxy为：x2?y2?4。 …………. 1’
2(z???x)dydz?zdxdy?????122???(z2?x)dydz?zdxdy???(z2?x)dydz?zdxdy…………2’
?1 ………. 4’
????(1?1)dv???2dxdy??1- 20 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
2?22?2?d??dr?12rdz?2???22 ………. 6’
002r?8??8??0 ………. 7’
＃ 24.计算曲线积分I?C??y?x?dx??y?x?dy，其中C是自点Ax2?y2??2,1?沿曲线y??cos2x到
?点B?2,1?的曲线段。
（5分，难度：二级）
x?yy?x?Px2?2xy?y2?Q2解：P?2,Q?2,??,?x?y2?0?, …………2’ 222x?yx?y?y?x2?y2??x取小圆周C?:x2?y2??,?充分小,取逆时针方向,则由Green公式可得:
?22I?1?2C???(y?x)dx?(y?x)dy??1?xdx??2??2arctan2 …………5’ 21?x25．用高斯公式计算
22?:x?ydxdy?y?zxdydz，其中柱面??1及平面y????x????z?0,z?3围成封闭曲面的外侧。 （6分，难度：二级）
解： P??y?z?x,Q?0,R?x?y
?P?Q?R?y?z,?0,? 0 …………3’ ?x?y?z 原式=
????y?z?dv …………4’
??????rsin??z?rdrd?dz
? =
?2?0d??rdr??rsin??z?dz …………5’
002?1?9?d???3r2sin??r?dr
02??13 =
??0 =
2?09?9??? = …………6’ sin??d???24??2x8z?1dydz?4yzdzdx?y?2z????dxdy，其中?是曲面???26．计算曲面积分I?z?1?x2?y2被平面z?3所截下的部分，取下側。
- 21 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
（8分，难度：三级）
?x2?y2?2解：补?1:?,取上侧, …………1’
?z?3I????1???????1?, 而
???1???????dv …………3’
??dz??dxdy???(z?1)dz?2? …………5’
1D(z)133其中D(z):x2?y2?z?1
?????(y?18)dxdy??18??dxdy??36?, …………7’
?1DxyDxyI?38? ………8’
27．计算曲线积分(x?xy)dx?(x?y)dy，其中L是区域0≤x≤1，
l?3220≤y≤1的边界正向。
（4分，难度：二级）
解：利用Green公式
?(xl3?xy)dx?(x2?y2)dy=??xdxdy …………2’
D11=[xdy]dx=00??1 …………4’ 228、计算曲面积分的上侧。
222xdydz?ydxdz?zdxdy，其中∑为平面方程x?y?z?1在第一卦限???（5分，难度：二级）
解： dxdy=dydz= d z …………2’
222222xdydz+ydxdz+zdxdy=[x?y?(1?x?y)]dxdy??????D1 …………5’ 4或由对称性：
222xdydz?ydzdx?z??????dxdy， …………2’ ???- 22 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
而
2z??dxdy??1， …………4’ 12故I?29、计算?L
1。 …………5’ 4?xcosydx?ysinxdy，其中L是由点A(0,0)到B(?,2?)的直线段。
（4分，难度：二级）
解：AB的方程y?2x x??0,?? dy?2dx
??xcosydx?ysinxdy????xcos2x?4xsinx?dx …………2’
L0? = 4? …………4’ 30、设f(x)可微，f(0)?1且曲线积分
2x[2f(x)?e]ydx?f(x)dy与路径无关。求??Lf(x)。
（7分，难度：三级）
?P2x?Q?2fx??f??x? …………2’ ??解：e,?y?x因该项积分与路径无关，所以
?P?Q?,有2f?x??e2x?f??x?。令y?f(x)， …………4’ ?y?x得微分方程y??2y?e2x，解得y?e2x?x?c?， …………6’ 代入条件f(0)?1得(C)=1
从而有y?e2x?x?1? …………7’ 31、计算对面积的曲面积分
2??yz2ds, ?: z?x?y,其中1?z?2 。 ?22（5分，难度：二级）
解:
曲面在XOY平面上的投影为1?x2?y?4
2yx??2 …………2’ 1?Z?Z?1?2222??yyxx2x2y22- 23 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
原式=
Dxy=2???2yx2?y2?22?2dxdy …………3’
?0d??r5sin2?dr
12??1 =2??sin2?????24?32、计算曲面积分
?0162212? …………5’ ?r=2612???2x?z?dydz?zdxdy，其中Σ是曲面z?x ?y2在z?1的部分的下侧。
（6分，难度：二级）
解：补充曲面?1:z?1且取上侧，又由高斯公式
?P?Q?R???3， …………2’ ?x?y?z???2x?z?dydz?zdxdy????2x?z?dydz?zdxdy????2x?z?dydz?zdxdy
????1?1 …………3’
=
???3dxdydz????dxdy …………4’
2x2?y?12?11=
?d??rdr?3dz???00r23????? …………6’ 2233. 计算曲线积分I?针方向。
xdy?ydx，其中L是以(1,0)为中心，R为半径的圆周(R?1)，取逆时22?9x?yL（8分，难度：三级）
?yx?Py2?9x2?Q,Q?解：令P?，则 ((x,y)?(0,0)) ??22222229x?y9x?y?y(9x?y)?x ……………..2’
222(1)当R?1时，设圆(x?1)?y?R内区域为(D)，此时(0,0)?D，则由格林公式有
xdy?ydx?Q?P?(?)dxdy?0 ……………..4’ 22???9x?y?x?yLD?P?Q222,(2)当R?1时，在圆(x?1)?y?R内点(0,0)处，无意义，作曲线C：?y?x?x?rcos?，r?0且足够小，使C整个含在曲线L中，C取顺时针方向。在L与C所围??y?3rsin? I?的环型域内，由复连通区域的格林公式有
- 24 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
I??Lxdy?ydx???9x2?y2L??CC222203rcos??3rsin??Q?P?)dxdy??d?22??x?y9rD2?2??0??。 ……………..8’
33
???(
34.计算V。
（5分，难度：二级）
解：由高斯公式
，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为(z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy??????(z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy??(x?z)?(y?x)?(z?y)????(??)dv?x?y?z?? ……………..3’
???3dv?3V ……………..5’
35．计算I???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中∑是曲面z=x+y
2
?2
在0≤z≤1范围内在第一卦限
部分曲面的下侧。
（7分，难度：二级）
解法一:
曲面?在yOz平面和xOy平面上的投影区域分别为
Dyz:0?y?1,y2?z?1;Dxy:x2?y2?1,x?0,y?0。
由轮换对称性有
??ydzdx???xdydz???Dyz3??z?ydydz??dy?0211y2z?y2dz
21?2 ??(1?y)2dy?。 …………………3’
308?1?2232而 ??zdxdy????(x?y)dxdy???d???d??? ……………………..5’
008?Dxy故 I?解法二:
用高斯公式计算
??xdydz?ydzdx?zdxdy?2???8??8??8。 ……………………..7’
z?1,x2?y2?1,x?0,y?0，取上侧；?2:x?0,0?y?1,y2?z?1，
2取后侧；?3:y?0,0?x?1,x?z?1，取左侧。则?与?1、?2、?3构成一封闭曲面的外
补充曲面?1:- 25 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
侧，设所围区域为?，显然在?2和?3的曲面积分为0。 …………………3’ 则由高斯公式有
I????1??2??3??xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy
?1?3???dv???zdxdy……………………………….…4’
?1?1?3?36．计算????z044848axdydz?(z?a)2dxdydz???3??????。 …………………7’
x2?y2?z2222，其中?为下半球面z??a?x?y的下侧，a为大
于零的常数。
（7分，难度：二级）
解：取?xoy为xoy面上的圆盘x2?y2?a2，方向取上侧，则
???axdydz?(z?a)2dxdyx2?y2?z2?1axdydz?(z?a)2dxdy ??a??1?22????axdydz?(z?a)dxdy???axdydz?(z?a)dxdy?， ……….3’ a????xoy??xoy???1?2?????(2z?3a)dv?a??dxdy? a???Dxy???2???a1?2???2?d??d??rcos?r2sin?d??3a?a3?a2?a2? a0?30??2????a?11??1??a434???4??cos?sin?d??rdr??a??????a4???a3。 ………7’
aa?2?0?2???2?37、求
?(eLxsiny?y?x)dx?(excosy?y)dy，其中L为圆周y?2ax?x2上从A(2a,0)到点O(0,0)的一段弧. （5分，难度：二级） 解：添加直线段L1:OA，则 原式?(?L?L1??2a0L1)(exsiny?y?x)dx?(excosy?y)dy …………….2’
=??dxdy-?xdx。（2分） …………….4’
D=π2a-2a2 …………….5’ 2- 26 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
22?x?y?2?38．已知空间曲线?：?，计算曲线积分??e22??z?x?yx2?y2ds．
（5分，难度：二级）
?x?2cos???解：?的参数方程?y?2sin?,0???2? ………………. 2’
???z?2则原式＝e??x2?y2ds??e02?2x?2?y?2?z?2d? …….4’
??e02?22d?=22e2? …….5’
39．计算I???[?f(x,y,?z)x]d?ydz[2(f,x?,y)z?]ydzd[x(?f,x,其y中zzdxdyf(x,y,为z)连续函数，?是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧.
（6分，难度：二级）
解： 将积分转为第一类曲面积分 I????{[f(x,y,z)?x]1?11?[2f(x,y,z)?y]?[f(x,y,z)?z]}dS ……………. 2’ 333z1=1(x?y?z)dS ???3?11dS ? 1 O= y …………. 4’ ???311S?= x= …………. 6’
23 40. 计算
1???(x3?yz)dydz其中∑为圆柱面x2+y2=R2在0≤z≤H中的一段曲面的外侧，R和H
都是正数。 （7分，难度：二级） 解：∑的方程：x?R2?y2∑在yoz面上的投影域为(D)：－R≤y≤R,0≤z≤H.
- 27 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
由对称性，则
???yzdydz?0, …………….2’
???xdydz?2??D(R?y)dydz?4?0(R?y)dy??0dz …………….4’ ?34244?4HR?0costdt??RH4334所以：??(x?yz)dydz??RH ……………5’
?441．设f(u)具有连续导函数，?为x?0的锥面y2?z2?x2?0与球面x2?y2?z2?1，
32232R2232Hx2?y2?z2?4所围立体表面的外侧，计算曲面积分
1y1y333I??xdydz?[f()?y]dzdx?[f()?z]dxdy ???zzyz（7分，难度：二级）
解：令P?x，Q?31y1yf()?y3,R?f()?z3 zzyz?P?R1y?Q1'y?3x2，??2f'()?3z2 …………. 3’ ?2f()?3y2，?x?zzz?yzz I????(??P?Q?R??)dv ?x?y?z=3=3222(x?y?z)dv …………. 4’ ????2??0?0d??4sin?d??r4dr …………. 5’
12=
93(2?2)? …………. ……….7’ 542. 计算(esiny?ydx)?e(L?xxcosy?x3dy)，其中L是从A(1,0)沿x?y?1(x?0)到
2323B(0,1)．
（6分，难度：二级）
解：补充直线段BO，OA …………. 1’
x?(eLsiny?y)dx?(excosy?3x)dy
- 28 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
??L?BO?OA??10OB??OA …………. 2’ …………. 4’
???4d???cosydy?0D?4?ydx?sin10021
?4??sin3td(cos3t)?sin1?
6?12?2(si4nt?sint)dt?sin103???sin18． …………. 6’
43．求摆线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t??)的弧的重心．
（6分，难度：二级）
tds?(xt?)2?(yt?)2dt?a2(1?cost)dt?2asindt2． …………. 1’ 解：
tM??ds??2asindt?4aL02． …………. 2’
?tMx??xds??a(t?sint)2asindtL02
??tt3?2a2?tsindt?a2?(cos?cost)dt00222 816?8a2?a2?a233 ． …………. 3’
?tMy??yds??a(1?cost)2asindtL02 ??t3t?2a2?sindt?a2?(sint?sin)dt00222 416?4a2?a2?a233． …………. 4’
?故
x?My4Mx4?ay??aM3，M3． ………….6’
?x2?y2?144．计算?从z轴正向看L的方向(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，其中L是???x?y?z?2L为顺时针方向．
（5分，难度：二级）
解：取?为x?y?z?2被x?y?1所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根 据斯托克斯公式有：
22?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz
L- 29 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
???0dydz?0dzdx?2dxdy? …………. 3’
??2??dxdy??2?Dxy． …………. 5’
45．
??xzdydz?y?22zdzdx?xz2dxdy其中?是z?x2?y2在0?z?1的第一象限部分的下侧．
（8分，难度：三级）
解：补面?1,?2,?3，
22 ?1:z?1，x?y?1，x?0，y?0，取上侧； 2 ?2:y?0，x?z?1，x?0，取左侧；
2?:x?0y?z?1， y?0，取后侧． …………. 1’ 3 ，
x??
?2zdydz?y2zdzdx?xz2dxdy
?
???1??2??3????????????1?2?3
…………. 2’
????(4xz?2yz)dv???xdxdy?0?0?Dxy …………. 5’
?010?0??2d??rdr?2(4rco?s?z?2rsin??z)dz??2d??rco?s?rdr0r11
?1215??21321． …………. 8’
2xy2?3x246. 验证3dx? dy是某个函数u(x,y)的全微分，并求出这个函数。yy4（6分，难度：二级）
2xy2?3x2解：令P?3，Q?
yy4?P?6x?Q?4=，（y?0） …………. 2’
?x?yy2xy2?3x2所以当y?0时 3dx?dy是某个函数u(x,y)的全微分。
yy4则
x2x1dy??3dx …………. 4’ 20yyu(x,y)??(x,y)(0,1)Pdx?Qdy??y1x21=3??1 …………. 6’ yy- 30 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
47．设AB为连接点A(0,1),B(1,2)的某一位于直线段AB之上的光滑曲线，又设?AB与AB
1x所围图形的面积为k,式计算曲线积分：(y?)dx?dy. 2?????AByy（7分，难度：三级）
解：令P?y?1x，Q?2 yy?P1?Q1，（y?0） …………. 2’ ?1?2，??yy?xy2设?AB与AB所围的区域为D，则
??????????ABBA1x?Q?P(y?)dx?2dy???(?)dxdy????dxdy??k …………. 4’
yy?x?yDDAB的方程为y?x?1
?????AB21x1y?1(y?)dx?2dy??(y??2)dy?1 …………. 6’
1yyyy1x(y?)dx?dy??(?k?1)?k?1. …………. 7’ ?????AByy248．验证(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy在xoy平面内是某一函数u(x,y)的
全微分, 并求这个函数u(x,y).
（6分，难度：二级） 解： 在xoy平面内,P?2xcosy?y2cosx,Q?2ysinx?x2siny具有一阶连续偏导数,且
?Q?P?2ycosx?2xsiny? …………. 2’ ?x?y故所给表达式是某函数u(x,y)的全微分,并且有 u(x,y)? ?49．计算
??(x,y)(0,0)x(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy …………. 4’
02xdx??y0(2ysinx?x2siny)dy?y2sinx?x2cosy …………. 6’
??(xy?yz?zx)ds,其中?为锥面z??x2?y2被柱面x2?y2?2ax所截得的有限部分.
（6分，难度：三级）
解: 曲面?在xoy平面上的投影区域为Dxy={(x,y)x2?y2?2ax}, 又曲面?关于xoz平面对称, 函数xy和yz都是关于y的奇函数, 故有
??xyds?0,???yzds?0 …………. 2’
?- 31 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
x2?y222又在曲面?上, dS?1?(z?dxdy?2dxdy, x)?(z?y)dxdy?1?22x?y于是由计算第一型曲面积分的方法得
z?y??(xy?yz?zx)dS???zxdS?2??x??Dxyx2?y2dxdy ………….4’ Dxy?20x?rcos?,y?rsin???2?2??d?2?2acos?0r3cos?dr?82a4?cos5?d??82a44264??2a4 5315 ox………….6’
50.利用斯托克斯公式计算
???2ydx?3xdy?z2dz,其中?是圆周x2?y2?z2?9,z?0,若从
z轴正向看去, 这圆周取逆时针方向.
（6分，难度：二级）
解: 因曲线?在xoy平面上，即有z?0, 故若取?为xoy平面上的区域Dxy?{(x,y)x2?y2?9}的上侧, 则曲线?为?的正向边界曲线, 由斯托克斯公式有
dydzdzdxdxdy??? ………….4’
?x?y?z2y??Dxy
???2ydx?3xdy?z2dz????3x?z2??dxdy???dxdy?9? ………….6’
（7分，难度：三级）
51. 计算
??(z?y?2)ds,其中?为球面x2?y2?z2?R2与平面x?y?z?0的交线.
解: 因积分曲线?的方程对变量x,y,z具有轮换对称性，故
1xds?yds?zds?(x?y?z)ds ………….2’ ???3?1x2ds?y2ds?z2ds?(x2?y2?z2)ds ………….4’ ???3?
因而
1R22122222(0?R)ds??2?R??R3. (z?y)ds?[(x?y?z)?(x?y?z)]ds??3?333?………….7’ ??f?ds,其中f(x,y)?(x?2)2?y2，L为椭圆2x2?y2?1, n为L的52. 计算第一类曲线积分
L?n外法线向量．
（8分，难度：三级）
??????00解: 设L的逆时针方向单位切向量为??(cos?,sin?), 并且有cos?ds?dx,sin?ds?dy将?顺
????0时针旋转即得曲线L朝外的单位法向量n，因此
2?????0n?(cos(??),sin(??))?(sin?,?cos?)
22???dx于是 n0ds?(sin?,?cos?)??(tan?dx,?dx)?(dy,?dx) ………….2’
cos?????????????????????????- 32 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
??f??f?f???0又???,??n,故 ?n??x?y????f?ds?L?n?L?????f?f???0?,??nds?L??x?y?????f?f?(dy,?dx)??,??L??x?y????f?fdy?dx ………….4’ L?x?y??2(x?2)dy?2ydx ………….6’
?4??Ddxdy?4?2??22? ………….8’ 22?. 2其中D为由L围成的椭圆域, 其面积为
53. 计算
??1y2xarctandx?arctandy，其中L是由圆周x2?y2?1,x2?y2?4与直线 Lxxyyy?x,y?3x在第一象限所围区域的正向边界.
（6分，难度：二级）
1y2xarctan,Q?arctan在D内具有一阶连xxyy?Q2?P1?2,?续偏导数, D为单连通域, 并且有 ………….2’ ?xx?y2?yx2?y2解: 因点(0,0)不包含在L所围的区域D内, 又P?利用格林公式得到
原积分?=
54. 计算I???D1dxdy ………….4’
x2?y2???3d?4?211?rdr?ln2 ………….6’
12r22?y(1?cosx)dx?sinxdy,其中l为从点A(0,1)沿曲线yl?1?x到点B(1,0)一段弧．
（7分，难度：三级）
解 因积分路径l不封闭,构造封闭曲线,添加路径L1与L2，记L??l（如图）, 使之构成封闭路径以应用格林公式计算，
L1:x?0,y?[0,1],则dx?0,
??L1?010dy?0 ………….2’
???0dx?0 ………….4’
则 ????0
L2:y?0,x?[0,1],则dy?0,L20L1L21而
??L?L1?L2???D(?1)dxdy??dy0??11?y202dx?? ………….6’
32??????? ………….7’ ?L?L1?L2?L1L2?3又积分路径l是顺时针方向，因此有
????2???I?y(1?cosx)dx?sinxdy?????? l?L?L1?L2?L1L2??3故
?????????- 33 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
55. 计算曲面积分
??(y?z)dxdy?(x?2)dydz,其中?是抛物柱面y??x被平面x?z?1和
z?0所截下的那部分的后侧曲面.
（7分，难度：三级）
解 如右图,因为柱面y?x 在坐标面xoy上的投影是一条曲线,由 定义知
z1??(y?z)dxdy?0 ………….2’
??在坐标面yOz上的投影区域
记为Dyz:0?y?1,0?z?1?y2. 由于?取后侧,故
0n?Dyz1y???(x?2)dydz????(y2?2)dydz??Dyz??1(y2?2)dydz x………….4’ ??dy 0?? 1 1?y2 0(y?2)dz?? 12? 1 0(y2?2)?(1?y2)dy …………6’
1?6?????2y?y3?y5?? …………7’
5? 05?56． 已知流体的速度场
试求单位时间内流过立方体0?x?a,0?y?a,0?z?a的全表面的外侧的流量(流体的密度为1).
（7分，难度：三级）
解 流量为
??2??2v?(2x?z)i?xyj?xzk
????(2x?z)dydz?x?2ydzdx?xz2dxdy………….2’
………….5’
?(2?x???? a a 0 a 0 a2?2xz)dxdydz
a 0?????dx?(2a?ax?ax)dy ?a?(2a?ax?ax)dx
22 0 0? dxdy(2?x2?2xz)dz
a22 0?2a4a4??a2?3????a?.………….7’ ?2a?3?2??a?2?6??? ??57．利用斯托克斯公式计算曲线积分
?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz
L?x2?y2?1其中L是曲线?从z轴的正向看去L的方向是顺时针的.
x?y?z?2?（8分，难度：四级）
解 设?是平面x?y?z?2上以L为边界的有限部分,其法向量与
z轴正向的夹角为钝
- 34 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
角,?在xOy平面上的投影区域为Dxy:x2?y2?1.P?z?y,Q?x?z,R?x?y.则由斯托克斯公式
?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz
L????dydz??xPdzdx??yQdxdy???zR???dydz??xz?ydzdx??yx?zzdxdy?. ………….6’ ?zx?y? ??Dxy2………….8’ n??2dxdy??2??dxdy??2? ?1x1O
57． 求均匀曲面?:z?a2?x2?y2的重心坐标.
1y
（7分，难度：二级）
解： 已知?是中心在原点,半径为a的上半球面.由于?关于坐标面yoz,zox均对称,故有
x?0,y?0. ………….2’ 设?的面密度为?,?的质量为M?2?? a2.
1z?? z dS ………….3’
M???曲面?在坐标面xOy上的投影Dxy:x2?y2?a2,则
z?1M12?? a212?? a2???? zdS?12?? a22Dxy2??2?a2?x2?y2?1?zx?z2y dxdy ………….4’
?Dxy??? ???a?x?y?1?2x2?y2a2?x2?y2a2dxdy
?a?x?y?222Dxya2?x2?y2dxdy
?12? a2Dxy??adxdy?1a ………….6’ 21??所以曲面?的重心坐标为:?0,0,a?. ………….7’
2??xyz4??58．?z?2x?y?dS,其中?为平面???1在第一卦限的部分.
3?234????（5分，难度：二级）
xy??解 设?:z?4?1???,
23??xy???x?0,y?0,??1?,?在坐标面xoy上的投影区域Dxy为：
23??xy??1,x?0,y?0.由于 23- 35 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
1?2zx?z2y?4??1?(?2)?????3?22?61………….2’
3
44?xyz?z?2x?y?4?????4 ??x,y,z????
3?234?所以
z???4?461?dxdy?461?z?2x?y?dS?4dS? …………5’33???D????xy?320y
59．计算曲面积分
x22??(2x?z)dydz?zdxdy,其中?为有向曲面z?x??y(0?z?1),其法向量与
z轴正向的夹角为锐角．
（8分，难度：三级）
解： 设?1:z?1 (x2?y2?1)取下侧,?与?1所包围的空间区域?:x2?y2?z?1,?1在
xoy面上的投影为Dxy:x2?y2?1.
???1??(2x?z)dydz?zdxdy?????? 1??(2x?z)?(0)?(z)? ????dv?x?y?z??…………3’
??????3dv??3 d? rdr dz 2 0 0 r? 2?? 1?z??3 d? r(1?r) dr
0 0? 2?? 1?12z?r2r4?3…………5’ ??6? ??????242???? 0
1?O??(2x?z)dydz?zdxdy
?1y???zdxdy????dxdy????1Dxy…………7’
x 所以
??(2x?z)dydz?zdxdy
?????1??(2x?z)dydz?zdxdy????13?(2x?z)dydz?zdxdy ????(??)??22…………8’
60. 计算
?? x2yzds其中?为折线段ABCD,这里A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,2),D(1,2,3).
（8分，难度：三级）
解 如图
?? x2yzds?? ABx2yzds?? BCx2yzds?? CDx2yzds
线段AB的参数方程为
x?0,y?0,z?2t,(0?t?1) ds?0?0?22dt?2dt
…………2’
- 36 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
1? ABx2yzds? 0?0?2t?2dt?0 0?
…………3’
线段BC的参数方程为 x?t,y?0,z?2,(0?t?1)
ds?1?0?0dt?dt
zB(0,0,2)C(1,0,2)D(1,2,3)? BCx2yzds?? 1 0t2?0?2?dt?0…………5’
A(0,0,0)y线段CD的参数方程为
x?1,y?2t,z?2?t,(0?t?1)，ds?0?22?1dt?5dt
x ? CDxyzds?2? 1 01?2t?(2?t)?5dt?252? 1 0 (2t?t2)dt?85 ………7’3
85…………8’ 3所以
?? x2yzds?? ABx2yzds?? BCx2yzds?? CDx2yzds?
四、综合题
1、证明在整个xoy平面上，(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy是某个函数的全微分，求这样的一个函数并计算(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy，其中L为从(0,0)到(1,1)的任意
?L一条道路。 （8分，难度：三级）
解：令P(x,y)?exsiny?my，Q(x,y)?excosy?mx，则有
故知(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy是某个函数的全微分。 取路径(0,0)?(x,0)?(x,y)， 则一个原函数为U(x,y)?
?P?Q?excosy?m?， ………….2’ ?y?x?(x,y)(0,0)(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy ………….4’
(x,y)(0,x)??＝
(0,x)(0,0)x(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy??(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy
?00dx??y0(excosy?mx)dy＝exsiny?mxy ………….6’
xx最后(esiny?my)dx?(ecosy?mx)dy＝U(1,1)?U(0,0)?esin1?m ………….8’
?L??2,?1?2、证明曲线积分
??1,0??x?2?y2(xdx?ydy)在XOY面与路径无关，并求值。
（6分，难度：三级）
- 37 -
?第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
解：P?x,y??x3?xy ， Q?x,y??x2y?y
23?P?Q ………….2’ ?2xy??y?x可知该曲线积分与路径无关。
??2,?1??1,0??x??2?y(xdx?ydy)?2??23?1?13dx?4y?dy …………4’ yx??0??1?214? ?x4?2y?y?6 …………6’ ??4?1?4?02. 设g'(x)连续，且g(1)?g(0)?0,计算I??2?1?L[2xg(y)-y]dx?[x2g'(y)?y]dy，其中 L，)其对称轴与y轴平行的抛物线.起点为A，终点为C 是过三点A(0,0),B(,-),和C(11（9分，难度：三级）
解：过A、B、C三点的抛物线方程为y?3x2?2x. …………1’ 由格林公式
1214?????L?CA[2xg(y)-y]d?x2[xg'?(y)y?]dy??D[2xg?'(y)1x3y’ 2x?g'(y…………)1]dxd???dxdy??dx?D01 …………5’ dy?3x2?2x2?????CA[2xg(y)-y]dx?[xg'(y)?y]dy??[2xg(y)-y]dx?[x2g'(y)?y]dy
112020=?[2xg(x)-x?xg'(x)?x]dx =???10x2g'(x)dx??2xg(x)dx??2xdx
0011=?x2g(x)|10?1=1 …………8’
1I?? …………9’
213． 设f(x)连续可导，且f(0)??。求f(x)，使得积分
2?
BA[e-x+f(x)]ydx-f(x)dy与路径无关，并求当A?(0,0),B?(1,1)时的积分值。
（8分，难度：三级）
- 38 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
?P?Q??y得f?(x)?f(x)??e?x …………. 2’ 解：由?x解得f(x)?e(?x?C) …………. 4’
?x因为
f(0)??111C??f(x)??(x?)e?x2。故22，所以 …………….. 5’
33dy? 02e2e ………………8’
1?求出
(1,1) (0,0) [e?x?f(x)]y dx?f(x) dy??? (1,1) (0,0) [e?x?f(x)]y dx?f(x) dy?32e的方法不限。可以用积分与路径无关，也可以用原
函数两点函数值之差等。 4．已知曲线积分
?[eLx?2f(x)]ydx?f(x)dy与路径无关，且f(0)?0。
（1）求f(x)； （2）计算
?(1,1)(0,0)[ex?2f(x)]ydx?f(x)dy的值。
（8分，难度：三级）
解：由
?P?Q?，得f?(x)?2f(x)??ex, …………. 2’ ?y?x?2dx?2dx1?则f(x)?e???exe?dx?C??Ce?2x?ex, …………. 4’
3???因为f(0)?0，所以C?
1
， …………. 5’ 3
则f(x)?(e?2x?ex). 故
13?(1,1)(0,0)[ex?2f(x)]ydx?f(x)dy?0dx??10?3(e011?2?e)dy
1??(e?2?e). ……………….8’
35．计算
????dSx2y2z2,其中?为椭球面2?2?2?1,?是从原点到椭球面上点(x,y,z)的切平
abc?面的距离. （10分，难度：四级）
x2y2解：设?1为?的上半曲面(z?0),?1在xoy面上的投影区域为D：2?2?1,又
abc2dS?1?z'?z'dxdy?z2x2yx2y2z2??dxdy …………. 2’ a4b4c4- 39 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
椭球面上任一点(x,y,z)的切平面方程为
xyz(X?x)?(Y?y)?(Z?z)?0. …………. 4’ 222abcxyzx2y2z2即 2X?2Y?2Z?(2?2?2)?0
abcabc从原点到该平面的距离：
??1xyz??a4b4c4?2???1222 …………. 6’
由对称性：
????dSdS?c2x2y2z2?2??(4?4?4)dxdy ?zabcDx2y2其中 z?c1?2?2，于是
abc2x22?abc?dxdy??2， …………. 8’ 4??za3aDc2y22?abcc2z22?abc同理：???4dxdy??2，???4dxdy??2
zb3bzc3cDD故：
????dS??4?111abc(2?2?2) …………. 10’ 3abc6．计算I?2y2(1?x)dydz?8xydzdx?4xzdxdy?，其中为由曲线x?e(0?y?a)绕x轴???旋转而成的旋转曲面，其法向量与z正向夹角恒大于
?. 2（8分，难度：三级）
解：曲面?的方程为x?e作辅助曲面x?eay2?z2， …………. 2’
(y2?z2?a2),指向与x轴正向相同，由高斯公式：
???1???2(1?x2)dydz?8xydzdx?4xzdxdy
(?4x?8x?4x)dv=0 …………. 4’
2=
???1?????2(1?x?1)dydz?8xydzdx?4xzdxdy
=
2y?z2?a2??2(1?e2a)dydz?2(1?e2a)?a2 …………. 7’
- 40 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
所以I????1???2a2????=?2(1?e)?a …………. 8’ ?17．设空间区域?由曲面z?a2?x2?y2与平面z?0围成，其中a为正常数，区域?的全表面外侧为?，?的体积为V，试证明：
2222xyzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy=V ???（7分，难度：三级）
证明：令P?x2yz2，Q??xy2z2,R?z(1?xyz)
?P?R?Q?2xyz2，?1?2xyz …………. 3’ ??2xyz，?x?z?y2222??xyzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy=???(???P?Q?R??)dv ?x?y?z=
???(1?2xyz)dv …………. 5’
2?22xyzdv?0,因?关于yoz面对称，被积函数为关于x的奇函数，…………. 6’ ????又
因此：
??x?2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy=???dv?V ………….7’
?8．设?是一光滑的闭曲面，V是?所围的立体的体积，r是点(x,y,z)的向径，??|r|，?是?的外法线向量与r的夹角，试证明：
V=
1?cos?dS 3???（6分，难度：二级）
证明：设?的外法线方向的单位向量n0?(cos?,cos?,cos?)，
???xyz0r?(,,) r?xi?yj?zk，
???ycos??n0?r0?x?cos???cos??z?cos? …………. 3’
所以?cos??xcos??ycos??zcos? …………. 4’ 故
11?cos?dS(xcos??ycos??zcos?)dS =??3??3??- 41 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
=
13dv=???dv?V …………. 6’ ???3??9. 设函数Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydx?Q(x,y)dy与
c?路径无关，并且对任意t恒有?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy, 求函数
Q(x,y).
（9分，难度：四级）
解：令P?2xy，Q?Q(x,y)
因为?2xydx?Q(x.y)dy与路径无关，所以
c?P?Q'=，即有 Qx?2x …………. 2’ ?y?x所以有Q?x2?f(y) …………. 4’ 又
?(t,1)(0,0)12xydx?Q(x.y)dy??tt00(1,t)(0,0)2xydx?Q(x.y)dy,则
?Q(0,y)dy??2xdx??Q(1,y)dy, …………. 6’
0即
?10f(y)dy?t??[1?f(y)]dy,两边同时对t求导，得f(t)?2t?1 …………. 8’
022t所以Q?x?2y?1 …………. 9’
10．已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??}，L为(D)的正向边界. 试证：
(1) (2)
（9分，难度：四级）
解： (1) 左边=
??xeLsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx;
L?xeLsinydy?ye?sinxdx?2?2.
??0?esinydy???e?sinxdx …………. 2’
??00 =? 右边=
??(esinx?e?sinx)dx， …………. 3’
?siny?0?e?0dy???esinxdx …………. 5’
?0 =?(esinx?e?sinx)dx， …………. 6’
- 42 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
所以
siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx. ??LL(2) 由于esinx?e?sinx?2，故由（1）得 …………. 9’ yf(x)dx?[2xf(x)?x2]dy在右半平面(x?0)内与路径无关，其中f(x)可
11．设曲线积分
?L导，且f(1)?1,求f(x)。
（7分，难度：四级）
解：
??[yf(x)]?[2xf(x)?x2] ?y?x化简得f(x)?2xf'(x)?2x ………3分
由题意，
令y?f(x)，即
dy1?y?1，dx2xy?f(x)?3122(x?c) ………6分 x331122121又因为f(1)?1,得c?,故f(x)＝ ………7分 (x?)＝x?3333x3x12、计算（y2?z2）dydz?x2ydzdx?y2zdxdy,其中?是曲面z????x2?y2及平面z?1所
围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。 （7分，难度：三级）
解：
P?y2?z2,Q?x2yR?y2z.且Px?Qy?Rz?x2?y2
利用高斯公式，得
222222（y?z）dydz?xydzdx?yzdxdy?(x?y)dxdydz ………4分 ???????2?11??0d??rdr?r2dz?0r?10 ………7分
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