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如果把非中心化的MA(q)序列减去上式(40.46)中的?，则转化为中心化MA(q)序列。特别地，对于中心化MA(q)序列，有Ext?0。
2引进延迟算子，设?(B)?1??1B??2B中心化MA(q)模型可以简记为：
????qBq，又称为q阶自移动平均系数多项式，则
xt??(B)?t
2)
(40.47)
MA(q)模型的方差
平稳MA(q)模型的方差为：
Var(xt)?Var(???t??1?t?1??2?t?2????q?t?q)?(1????????)??3)
21222q (40.48)
MA(q)模型的自协方差
平稳
MA(q)模型的自协方差只与滞后阶数k相关，且q阶截尾。当k?0时，
22?(0)?Va(rxt)?(1??12??2????q)??2；当k?q时，?(k)?0；当1?k?q时，有
?(k)?E(xtxt?k)?E[(???t??1?t?1????q?t?q)(???t?k??1?t?k?1????q?t?k?q)]
?(??k???i?k?1)??i?1q?k(40.49)
4)
MA(q)模型的自相关系数
平稳MA(q)模型的自相关系数为
1,k?0?q?k??????i?k?1?(k)?k?i?1?k???,1?q?k 22?(0)?1??1????q?0,k?q??5)
(40.50)
MA(q)模型的偏自相关系数
在中心化的平稳MA(q)模型场合，滞后k阶偏自相关系数为：
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?kk?E(xtxt?k|xt?1,?,xt?k?1)
Var(xt?k|xt?1,?,xt?k?1)(40.51)
容易证明平稳MA(q)模型的偏自相关系数拖尾性。见图40－6和图40－7所示是一个平稳MA(1)模型的样本自相关图和样本偏自相关图。
1.0000.9000.8000.7000.6000.5000.4000.3000.2000.1000.000-0.100-0.200-0.300-0.400-0.500-0.600-0.700-0.800-0.900-1.000MA(1)模型的自相关函数ACF(k)xt??t?0.8?t?1自相关系数0123456789101112延迟k
图40－6 一个MA(1)模型n=101样本自相关函数截尾图
1.0000.9000.8000.7000.6000.5000.4000.3000.2000.1000.000-0.100-0.200-0.300-0.400-0.500-0.600-0.700-0.800-0.900-1.000MA(1)模型的偏自相关函数PACF(k)xt??t?0.8?t?1偏自相关系数0123456789101112延迟k
图40－7 一个MA(1)模型n=101样本偏自相关函数拖尾图
6)
MA(q)模型的可逆性
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容易验证当两个MA(1)模型具有如下结构时：
模型1:xt??t??1?t?1模型2:xt??t?根据公式(40.50)计算，?11?1?t?1 (40.52)
???1/(1??12)，它们的自相关系数正好相等。即不同的模型却拥有完全相
同的自相关系数。这种自相关系数的不惟一性将会导致拟合模型和随机时间序列之间不会是一一对应关系。为了保证一个给定的自相关函数能够对应惟一的MA(q)模型，我们需要给模型增加约束条件。这个约束条件称为MA(q)的可逆性条件。把上式(40.52)中两个MA(1)模型表示成两个自相关AR模型形式：
xt??t1??1B xt模型2:??t11?B模型1:(40.53)
?1注意表示成自相关AR模型时运用公式(1?a)?1显然，当?1?1?a?a2?a3??，其中a??1B或a?B/?1。
?1时，模型1收敛，而模型2不收敛；当?1?1时，则模型2收敛，而模型1不收敛。
若一个MA(q)模型能够表示成收敛的AR模型形式，那么该MA(q)模型称为可逆模型。一个自相关系数惟一对应一个可逆MA(q)模型。
3.
ARMA(p,q)模型
具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)：
xt??0??1xt?1??t?2xt?2????pxt?p??t??1?t?1??2?t?2????q?t?q
若?0(40.54)
?0，该模型称为中心化ARMA(p,q)模型。模型的限制条件与AR(p)模型、MA(q)模型相同。
引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型简记为：
?(B)xt???t
式中：
(40.55)
?(B)?1??1B??2B2????pBP，称为p阶自回归系数多项式，
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?(B)?1??1B??2B2????qBq，称为q阶自移动平均系数多项式。
显然，当q?0时，ARMA(p,q)模型就退化成AR(p)模型；当
p?0时，ARMA(p,q)模型就
退化成MA(q)模型。所以，AR(p)模型和MA(q)模型实际上是ARMA(p,q)的特例，它们统称为模型。而ARMA(p,q)模型的统计性质也正是AR(p)模型和MA(q)模型统计性质的有机组ARMA合。
由于ARMA(p,q)模型可以转化为无穷阶移动平均模型，所以ARMA(p,q)模型的自相关系数不截尾。同理，由于ARMA(p,q)模型也可以转化为无穷阶自回归模型，所以ARMA(p,q)模型的偏自相关系数也不截尾。总结AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模型的自相关系数和偏自相关系数的规律，见表40.1所示。
表40.1 拖尾性和截尾性
模型 自相关系数?k 拖尾 偏自相关系数?kk AR(p) MA(q) ARMA(p,q) p阶截尾 拖尾 拖尾 q阶截尾 拖尾
假如某个时间序列观察值可以判定为平稳非白噪声序列，计算出样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）之后，就要根据它们表现出来的性质，选择阶数适当的ARMA模型拟合观察值序列。即根据样本的自相关系数和样本偏自相关系数性质估计自相关阶数
?和移动平均阶数q?。因p此，这个过程也称为模型定阶过程或模型识别过程。
由于样本的随机性，样本的自相关系数和偏自相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾处仍会呈现出小值震荡的情况。同时，由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数变大，自相关系数和偏自相关系数都会衰减至零值附近作小值波动。那么，如何判断自相关系数和偏自相关系数是截尾还是拖尾呢？以及如果为截尾那么相应的阶数为多少？
通常分析人员是依据样本的自相关系数和偏自相关系数近似分布来作出尽可能合理的判断。Jankins和Watts已经证明样本自相关系数是总体自相关系数的有偏估计：
k??k)??E(?1????k
?n?j1j212?k)????m?(1????mVar(?),nm??jnm?1(40.56)
式中k为延迟阶数，n为样本容量。根据Bartlett公式计算样本自相关系数的方差近似等于：
k?j
(40.57)
?k)?0；当样本容量n充分大时，Var(??k)?1/n。所以样本自相当延迟阶数k足够大时，E(?上海财经大学经济信息管理系IS/SHUFE
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