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?(k)??1?(k?1)??1?1?(k?2)???(0)??1kk1 (40.39)
根据式(40.38)可以推出，平稳AR(p)模型的自相关函数有两个显著的性质：
? 拖尾性——指自相关函数?(k)始终有非零取值，不会在k大于某个常数之后就恒等于零。 ? 负指数衰减——随着时间的推移，自相关函数?(k)会迅速衰减，且以负指数?i（其中?i为
k自相关函数的差分方程的特征根）的速度在减小。
AR(1)模型的自相关函数ACF(k)xt?0.8xt?1??t1.000.900.800.700.600.500.400.300.200.100.00-0.10-0.20-0.30-0.40-0.50-0.60-0.70-0.80-0.90-1.00自相关系数0123456789101112延迟k见图40－2和图40－3所示是两个平稳AR(1)模型的理论自相关图。
图40－2 ACF按负指数单调收敛到零
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AR(1)模型的自相关函数ACF(k)xt??0.8xt?1??t1.000.900.800.700.600.500.400.300.200.100.00-0.10-0.20-0.30-0.40-0.50-0.60-0.70-0.80-0.90-1.00自相关系数0123456789101112延迟k图40－3 ACF按正负相间地衰减到零
5)
AR(p)模型的偏自相关系数
对于一个平稳AR(p)模型，求出滞后k自相关系数?(k)时，实际上得到的并不是xt与xt?k之间
单纯的相关关系。因为这个?(k)还会受到中间k?1个随机变量xt?1,xt?2,?,xt?k?1的影响，即这k?1个随机变量既与xt又与xt?k具有相关关系。为了能单纯测度xt与xt?k之间的相关关系，引进了时间序列偏自相关函数（ partial autocorrelation function），简记为PACF。它是在剔除了中间k?1个随机变量的干扰之后的滞后k自相关系数，计算公式为：
?(xt,xt?k?xt式中E?xt)(xt?k?E?xt?k)]E[(xt?E|xt?1,?,xt?k?1)? 2?E[(xt?k?Ext?k)](40.40)
?xt?k?E[xt?k|xt?1?,xt?k?1]。如果我们用过去的k期序列值?E[xt|xt?1?,xt?k?1]，Ext?1,xt?2,?,xt?k?1,xt?k对xt作k阶自回归拟合，即
xt??k1xt?1??k2xt?2????kkxt?k??t
那么有?kk(40.41)
这说明滞后k偏自相关系数实际上等于k阶自回归模型第k??(xt,xt?k|xt?1,?,xt?k?1)。
个回归系数的值。根据这个性质很容易计算PACF的值。在公式(8.1.41)中等号两边同乘xt?k，求期望并除以?(0)，得到
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?t??k1?t?1??k2?t?2????kk?t?k,t?1,2,?,k,?n
取前k个方程构成的方程组：
(40.42)
??1??k1?0??k2?1????kk?k?1??????????????2k11k22kkk?2 ?????????k??k1?k?1??k2?k?2????kk?0该方程组被称为Yule-Walker方程。根据线性方程组求解的Gramer法则，有
(40.43)
?kk?式中：
Dk D(40.44)
1D??11??1??k?1?k?2??k?11?1??1??k?2?1??2,Dk?1
1???1??1?k?1?k?2??k
可以证明对于平稳AR(p)模型，当k的偏自相关系数具有图。
?p时，有Dk?0，这样?kk?0。也就是说平稳AR(p)模型
见图40－4和图40－5所示是两个平稳AR(1)模型的样本偏自相关p步截尾性。
AR(1)模型的偏自相关函数PACF(k)xt?0.8xt?1??t10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-1偏自相关系数0123456789101112延迟k
图40－4 一个AR(1)模型n=101样本偏自相关函数PACF(k)图
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AR(1)模型的偏自相关函数PACF(k)xt??0.8xt?1??t10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-1偏自相关系数0123456789101112延迟k图40－5 一个AR(1)模型n=101样本偏自相关函数PACF(k)图
由于样本的随机性，样本偏自相关系数不会和理论偏自相关系数一样严格截尾，但可以从图40－4和图40－5 中看出，两个平稳AR(1)模型的样本偏自相关系数1阶显著不为零，1阶之后都近似为零。样本偏自相关图可以直观地验证平稳AR(p)模型偏自相关系数具有
p步截尾性。
2.
MA(q)模型
具有如下结构的模型称为q阶移动平均，简记为MA(q)：
xt????t??1?t?1??2?t?2????q?t?q
其中包含两个限制条件：模型的最高阶数为q，即?q即?t(40.45)
?0；随机干扰序列?t为零均值的白噪声序列，
~WN(0,??2)。
1) 中心化的MA(q)模型
当??0时，式(40.45)又称为中心化的MA(q)模型。非中心化的MA(q)序列都可以通过假设满
足平稳性条件，在式(8.1.45)两边取期望E，根据平稳时间序列均值为常数的性质，有Ext为?t为零均值的白噪声，有E?t??，且因
?0,E?t?1?0,E?t?2?0,?,E?t?q?0，所以：
(40.46)
Ext?E(???t??1?t?1??2?t?2????q?t?q)??
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