所以点P的坐标为(1，3，2)． (2)因为点B在y轴上，
因此可设点B的坐标为B(0，b,0)， 则|PB|＝1＋?b－3?＋4＝5， 解得b＝3，
所以点B的坐标为(0，3，0)．
18．(12分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)． (1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标． 解：(1)∵k＝tan 135°＝－1， ∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)设A′(a，b)，
2
b－4??a－3×?－1?＝－1，则?a＋3b＋4??2＋2－2＝0，
解得a＝－2，b＝－1，
∴A′的坐标为(－2，－1)．
19．(12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．
解：设圆心为C(a，a－1)，半径为r， 则点C到直线l2的距离d1＝点C到直线l3的距离是d2＝
|4a＋3?a－1?＋14||7a＋11|
＝.
55|3a＋4?a－1?＋10||7a＋6|
＝.
55
|7a＋11|
??5＝r，
由题意，得?
?|7a＋6|?＋3＝r.
?????5?
2
2
2
解得a＝2，r＝5，即所求圆的方程是(x－2)＋(y2
－1)＝25.
20．(12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l1
的斜率为，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．
2
解：设直角顶点为C，点C到直线y＝3x的距离为d， 1
则d·2d＝10，∴d＝10. 2
2
1
∵直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，
21
∴直线l的方程为y＋2＝(x－4)．
2即x－2y－8＝0.
设直线l′是与直线y＝3x平行且距离为10的直线， 则直线l′与l的交点就是C点， 设直线l′的方程是3x－y＋m＝0， ∴
|m|3＋?－1?
2
2
＝10，∴m＝±10，
∴直线l′的方程是3x－y±10＝0.
??x－2y－8＝0，
由方程组?
?3x－y－10＝0?
??x－2y－8＝0，
或?
?3x－y＋10＝0，?
得点C的坐标是?
?12，－14?或
?5??5
?－28，－34?.
?5?5??
21．(12分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程； (2)求△ABC的面积．
解：(1)由题意可知，E为AB的中点， ∴E(3,2)，且kCE＝－
1
kAB＝1，
∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
??x－2y＋2＝0，
(2)由?
?x－y－1＝0，?
得C(4,3)，
∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC， 1
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.
2
22．(12分)已知圆M：x＋(y－4)＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
2
2
解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°. 在Rt△MAP中，|MP|＝|AM|＋|AP|，故|MP|＝2＋?23?＝4. 又|MP|＝ ?0－2b?＋?4－b?＝ 5b－8b＋16， 82
所以 5b－8b＋16＝4，解得b＝0或. 5
2222
2
2
2
2
?168?所以点P的坐标为(0,0)或?，?. ?55?
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆， 且MP的中点坐标为?b，
??
b＋4?
2?
2
?，
2
2
?b＋4?2＝4b＋?b－4?，
所以圆N的方程为(x－b)＋?y－?2?4?
即(2x＋y－4)b－(x＋y－4y)＝0.
2
2
??2x＋y－4＝0，由?22
?x＋y－4y＝0，?
??x＝0，
解得?
?y＝4，?
8
x＝，??5或?4
y＝??5，
?84?所以圆N过定点(0,4)和?，?.
?55?