高校自主招生考试数学专题讲座（11）圆锥曲线

1.求证：对任何实数k，曲线x2?y2?2kx?(2k?6)y?2k?31?0恒过两定点．

2．设xk,yk(k?1,2,3)都为非负实数，求

2222(2015?y1?y2?y3)2?x3?y3?x2?y2?x12?y12?(x1?x2?x3)2的最小值．

3．已知M(m,n)是椭圆C:x?y2?1上任一点，直线l过点M且与椭圆C只有一个公共点．

2（1）求直线l的方程；

（2）过点A(?1,0)作直线l的垂线，垂足为H．证明：点H在定圆上，并求出定圆的方程．

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x2y24．如图，椭圆C:??1(0?b?4)的左右顶点分别为A,B,M为椭圆上的任意一点，A4b关于M的对称点为P．若以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，求b的取值范围．

x2y25．已知椭圆C:??1的左右顶点点分别为A,B，过点D(1,0)的直线MN与椭圆分别

95交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，其中y1?0,y2?0．若直线AN,BM的斜率分别为k1,k2，求

k2的值． k1x2y26．已知椭圆?过F求?PQF2?1的左右焦点分别为F1,F2，1的直线交椭圆于点P,Q，

43内切圆半径的最大值．

7.给定一个圆和它的内部一点M,考虑所有可能的矩形MRTP,它的顶点K和P位于圆上，求点T的轨迹．

x2y28．已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的一

ab点，且使?F1PF2??3,?F1PF2的面积为33a2．

（1）求双曲线C的离心率e；

（2）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数?(??0)，使得?QF2A?2?QAF2恒成立，若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．

x2?y2?19．已知A是圆x?y?4上的一个动点，过点A作两条直线l1,l2，它们与椭圆322都只有一个公共点，且分别交圆于点M,N． （1）求证：对于圆上的任一点A，都有l1?l2； （2）求?AMN面积的取值范围．

10．设A,B为抛物线y?1?x在y轴两侧的点，求过点A的切线和过点B的切线与x轴围成的三角形的面积的最小值．

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