(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函
11
数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是________．
22(2)函数y＝ln
x＋1
的定义域为_______________________________________． 2－x－3x＋4
13
答案 (1)[，] (2)(－1,1)
22
解析 (1)因为函数f(x)的定义域是[0,2]，
1
0≤x＋≤2，??2
需要满足?1
0≤x－≤2，??2
11
所以函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)中的自变量x22
解得：
1
2
3≤x≤，
2
13
所以函数g(x)的定义域是[，]．
22
??x＋1>0，(2)由?2
??－x－3x＋4>0，
得－1
题型三 求函数解析式
2
例5 (1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________.
x(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. 1
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·x－1，则f(x)＝________.
x答案 (1)lg
221(x>1) (2)2x＋7 (3)x＋ x－133
9
22
解析 (1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
xt－1∴f(t)＝lg
22
，即f(x)＝lg(x>1)． t－1x－1
(2)(待定系数法) 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b， 即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
??a＝2，
∴?
?b＋5a＝17，?
??a＝2，
解得?
?b＝7，?
∴f(x)＝2x＋7. (3)(消去法)
11
在f(x)＝2f()x－1中，用代替x，
xx11
得f()＝2f(x)－1，
xxx12f将f()＝
x1
－1代入f(x)＝2f()x－1中，
xx21
可求得f(x)＝x＋. 33思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
?1?(4)消去法：已知f(x)与f??或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等
x??
式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
10
(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝
________.
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________________.
12
答案 (1)x－1(x≥1) (2)－x(x＋1)
221
(3)lg(x＋1)＋lg(1－x) (－1
(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1， 11
由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．
22
(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去f(－x)得，
2
2
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
2．分类讨论思想在函数中的应用
2
313
11
??e，x<1，
典例 (1)设函数f(x)＝x?1? x3 ，x≥1，?
13x－1
则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是
________．
??3x－1，x＜1，
(2)(2015·山东)设函数f(x)＝?x??2，x≥1，
则满足f(f(a))＝2
f(a)
的a的取值范围是
( )
?2?A.?，1?
?3?
2??C.?，＋∞? ?3?解析 (1)当x<1时，e∴x<1.
x－1
B．[0,1] D．[1, ＋∞)
≤2，解得x≤1＋ln 2，
当x≥1时，x≤2，解得x≤8，∴1≤x≤8. 综上可知x∈(－∞，8]． (2)由f(f(a))＝2
f(a)
13得，f(a)≥1.
22
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
33当a≥1时，有2≥1，∴a≥0，∴a≥1. 2
综上，a≥，故选C.
3答案 (1)(－∞，8] (2)C
温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解．
(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．
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