【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念

与基本初等函数I 2.1 函数及其表示

§2.1 函数及其表示

1．函数与映射

两集合A、B 对应关系函数 设A，B是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B映射 设A，B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合f：A→B 1

中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 B中都有唯一确定的元素y与之对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射 在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．常见函数定义域的求法

类型 2nx满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0 f(x)>0，且f(x)≠1，g(x)>0 f(x)≠kπ＋，k∈Z π2fx，n∈N* 1与[f(x)] 0fxlogaf(x)(a>0，a≠1) logf(x)g(x) tan f(x)

【知识拓展】

1．函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广．

2．函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．

3．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点． 【思考辨析】

2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )

(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )

1．下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x

答案 C

解析 将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等． 对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；

对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)； 对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)； 对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，

故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C. 2．函数f(x)＝

1log2x2

－1

的定义域为( )

A.??1?0，2???

B．(2，＋∞)

C.???0，12???

∪(2，＋∞) D.??1?0，2???

∪[2，＋∞) 答案 C

3

??x>0，

解析 要使函数f(x)有意义，需使?

?log2x?

2

－1>0，

1?1?解得x>2或0

2?2?

?1－x，x≥0，

3．(2015·陕西)设f(x)＝?x?2，x＜0，

113

A．－1 B. C. D.

422答案 C

则f(f(－2))等于( )

1?1?－2

解析 ∵f(－2)＝2＝＞0，则f(f(－2))＝f??＝1－4?4?

111

＝1－＝，故选C. 422

4．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

答案 B

解析 A中函数定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②

解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y＝2x(x∈N)的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.

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