2020年高考模拟河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科) 含解析 下载本文

A.① B.③ C.①③ D.①②③

【分析】由题意建立空间直角坐标系,求出平面AD1E的一个法向量,利用空间向量分析①②;找出平面AD1E截正方体所得截面,求解体积判断③. 解:建立如图所示空间直角坐标系,

A(1,0,0),D1(0,0,1),E(0,1,),C(0,1,0),

设F(t,t,0)(0≤t≤1), 则

,,

=(t,t﹣1,0).

设平面AD1E的一个法向量为

由,取z=1,则.

由由

,解得t=∈[0,1],故①正确;

=(t,t﹣1,0),

,知

与不共线,故②错误;

平面AD1E把正方体分成两部分如图,正方体体积为1, 三棱台ECH﹣D1DA的体积V=

∴平面AD1E把正方体分成两部分,较小部分的体积为∴①③正确. 故选:C.

, ,故③正确.

12.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1>1,且6Sn=an2+3an+2.若对于任意实数a∈[﹣2,2].不等式

恒成立,则实数t的取值范围为( )

A.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) C.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)

B.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) D.[﹣2,2]

【分析】根据an与Sn的关系,求得an的通项公式,消元,利用一元函数的根的分布问题,即可求得t取值范围. 解:由6Sn=an2+3an+2,

当n=1时,6a1=a1+3a1+2.解得a1=2,

当n≥2时,6Sn﹣1=an﹣1+3an﹣1+2,两式相减得6an=an+3an﹣(an﹣1+3an﹣1),整理得(an+an﹣1

2

2

2

2

)(an﹣an﹣1﹣3)=0,

由an>0,所以an+an﹣1>0,所以an﹣an﹣1=3,

所以数列{an}是以2为首项,3为公差的等差数列,所以an+1=2+3(n+1﹣1)=3n+2, 所以

=3﹣

2

<3,

*

因此原不等式转化为2t+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2,2],n∈N恒成立, 化为:2t2+at﹣4≥0,

设f(a)=2t+at﹣4,a∈[﹣2,2], 可得f(2)≥0且f(﹣2)≥0, 即有

,即

2

可得t≥2或t≤﹣2,

则实数t的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞). 故选:A.

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.平面向量与的夹角为60°,且【分析】由已知求得||,然后求出解:∵

,∴

, ,

,则

,开方得答案.

又与的夹角为60°,∴

=9+4×3×1×cos60°+4=19. ∴

故答案为:.

14.若实数x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是 ﹣9 .

【分析】作出平面区域,结合Z最小,截距最小平移直线2x+y=0确定最小值即可.

解:作出不等式组件 所表示的平面区域,

作出直线2x+y=0,对该直线进行平移, 结合Z最小,直线的截距最小; 可以发现经过点C(﹣3,﹣3)时

Z取得最小值﹣9;

故答案为:﹣9.

15.已知椭圆为右顶点.过坐标原点O的直线交椭圆C于P,

Q两点,线段AP的中点为M,直线QM交x轴于N(2,0),椭圆C的离心率为,则椭

圆C的标准方程为 .

【分析】设出P点坐标,表示出M的坐标,由Q,N,M三点共线,kMN=kNQ可计算出a,从而解决问题;

解:设P(x,y),则由A(a,0);

线段AP的中点为M,则M(,);

由题意,Q,N,M三点共线,kMN=kNQ;

即=;

可得x+a﹣4=2+x;

所以a=6,由椭圆C的离心率为,得c=4,b2=20;

故椭圆C的标准方程为:.

故答案为:.

16.已知函数

实数a的取值范围为 a≤﹣

2

,且f(x)g(x)≤0在定义域内恒成立,则

或a=e .

【分析】通过讨论f(x)的符号,结合函数的单调性判断出a的范围即可. 解:若f(x)g(x)≤0在定义域内恒成立,考虑以下情形: ①当f(x)≤0,g(x)≥0同时恒成立时, 由f(x)=lnx+2ax≤0,即﹣2a≥

恒成立,设h(x)=

,h′(x)=

当x>e时,h′(x)<0,h(x)递减,当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)递增, 可得x=e处h(x)取得极大值,且为最大值, 可得﹣2a≥,即a≤﹣

∵由g(x)≥0,即﹣a≥0恒成立得a≤0. ∴a≤﹣

②当f(x)≥0,g(x)≤0同时恒成立时,a不存在;

③当a>0时,∵f(x)=lnx+2ax为增函数,g(x)=﹣a为减函数, 若它们有共同零点,则f(x)?g(x)≤0恒成立,

由f(x)=lnx+2ax=0,g(x)=﹣a=0,联立方程组解得:a=e2.