湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合M={x|x﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a的取值范围是（） A． [2，+∞） B． （2，+∞） C． （﹣∞，0） D．（﹣∞，0] 2．（5分）给出下面四个命题： p1：?x∈（0，+∞），p2：?x∈（0，1），

，

；

2

p3：?x∈（0，+∞），

；

p4：?x∈（0，），

x，

其中的真命题是（） A． p1，p3 B． p1，p4 C． p2，p3 3．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）

D．p2，p4

A． 10 B． 11 C． 512 D．1 024 4．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（） A． ﹣

B． C． D．

5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）

A． 9 B． 11 C． 12 D．16 6．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则+=（）

A． ﹣2 B． 0 C． 2 D．不能确定 7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则 A． 1

B．

的最大值是（）

C． 2

D．

8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）

A．

9．（5分）若曲线C1：x+y﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（） A． （﹣ （﹣∞，﹣

10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×3+a3×3}，其中ai∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（） A． 3 240 B． 3 120 C． 2 997 D．2 889

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．

2

3

2

2

B． C． D．2

，） ）∪（

B． （﹣，+∞）

，0）∪（0，） C． [﹣，] D．

12．（5分）如图，椭圆

的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个

二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．

13．（5分）若f（x）+

14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为． 15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=，若an=145，则n=．

2

f（x）dx=x，则f（x）=．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）设函数

（1）求f（x）的最小正周期．

（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当

时，y=g（x）

．

的最大值． 17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选

手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．

（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；

（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛． 18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；

（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

？若

．

19．（13分）等比数列an中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．

（1）求此数列{an}的通项公式；

n

（2）若数列{bn}满足bn=3an﹣（﹣1）lgan，求数列{bn}的前n项和Sn．

20．（13分）已知圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2经过椭圆Γ：

2

2

+=1（a＞b＞0）的右焦点

F和上顶点B．

（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求

?

的最大值．