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二次函数中几何的最值问题的答案和解析

一、解答题

1、答案： （1）y＝?（2）y＝

x?2-

x-2

（3）存在，（，-）

试题分析：

（1）设出一次函数解析式，代入A、C两点的坐标即可解决问题；

（2）把A、B、C三点代入抛物线y=ax2+bx+c，列出三元一次方程组解答即可；

（3）利用轴对称图形的性质，找出点B关于直线AC的对称点，进一步利用直角三角形的性质以及待定系数法与两直线的相交的关系求得答案。 解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A（-2，0），C（0，-2）代入解析式得，

，

解得k＝?，b＝?2， ∴y＝?x?2；

（2）把A（-2，0），B（6，0），C（0，-2

，

）三点代入抛物线y=a+bx+c得，

解得：a=，b＝?，c＝?2

-

， x-2

；

∴所求抛物线方程为y＝（3）存在满足条件的点P． ∵抛物线方程为y＝∴顶点D的坐标为(2，?

?)，

，

要使△BDP的周长最小，只需DP+PB最小，

延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′D交直线AC于点P， ∵=16，=48，=64， ∴

=

+

，

∴BC⊥AC， ∴B'P=BP，

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∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小， 则此时△BDP的周长最小， ∴点P就是所求的点，

过点B′作B′H⊥AB于点H， ∵B（6，0），C（0，?2）， ∴在Rt△BOC中，BC=4， ∵OC∥B′H，B′C=BC， ∴OH=BO=6， B′H＝2OC＝4， ∴B′(?6，?4)，

设直线B′D的解析式为y=mx+n， ∵D(2，?∴∴m＝∴y＝∵

∴x＝，y＝?∴P(，?

)，

)．

，

，n＝?3x-3

，

， ，

)，B′(?6，?4

，

)在直线B′D上，

∴在直线AC上存在点P，使得△BDP的周长最小，此时P(，?

2、答案：

（1）m=2，（1，4） （2）（1，2）

试题分析：

（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；

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+mx+3，利用待定系数法即可

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（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．

解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣+mx+3得：0=﹣+3m+3， 解得：m=2， ∴y=﹣

+2x+3=﹣

+4，

∴顶点坐标为：（1，4）．

（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，

设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴解得：

， ，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴当PA+PC的值最小时，求点P的坐标为：（1，2）．

3、答案： （1）a=-,b=3 （2）S=-+8x（2＜x＜6）,16

试题分析：

（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；

（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值。 解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx， 得

，解得：

；

（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，

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CF⊥x轴，垂足分别为E，F，

=OD?AD=×2×4=4；

=AD?CE=×4×（x-2）=2x-4； =BD?CF=×4×（-+3x）=-+6x，

++=4+2x-4-+6x=-+8x， 则S=

∴S关于x的函数表达式为S=-+8x（2＜x＜6）， ∵S=-

+8x=-+16，

∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16． 4、答案：

（1）y=-5x-6

（2）存在，P（2，-12）（3）（，-）

试题分析：

（1）抛物线经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-6），代入B（5，-6）即可求得函数的解析式；

（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m，

-5m-6），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标． （3）分三种情况画图：①以A为圆心，AB为半径画弧，交对称轴于和，有两个符合条件的和；②以B为圆心，以BA为半径画弧，也有两个符合条件的和；③作AB的垂直平分线交对称轴于一点，有一个符合条件的；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出坐标.

解：（1）设y=a（x+1）（x-6）（a≠0），把B（5，-6）代入：a（5+1）（5-6）=-6， a=1，

∴y=（x+1）（x-6）=-5x-6； （2）存在，

如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，

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