第二章

2.3叙述由下列正规式描述的语言 (a) 0(0|1)*0

在字母表{0, 1}上,以0开头和结尾的长度至少是2的01串 (b) ((ε|0)1*)*

(c) (0|1)*0(0|1)(0|1)

在字母表{0, 1}上,倒数第三位是0的01串 (d) 0*10*10*10*

在字母表{0, 1}上,所有的01串,包括空串 在字母表{0, 1}上,含有3个1的01串 (e) (00|11)*((01|10)(00|11)*(01|10)(00|11)*)*

在字母表{0, 1}上,含有偶数个0和偶数个1的01串

2.4为下列语言写正规定义

C语言的注释，即以 /* 开始和以 */ 结束的任意字符串，但它的任何前缀（本身除外）不以 */ 结尾。 ［解答］ other → a | b | … other指除了*以外C语言中的其它字符 other1 → a | b | …

other1指除了*和/以外C语言中的其它字符 comment → /* other* (* ** other1 other*)* ** */ (f) 由偶数个0和偶数个1构成的所有0和1的串。

［解答］ 由题目分析可知，一个符号串由0和1组成，则0和1的个数只能有四种情况： x 偶数个0和偶数个1（用状态0表示）； x 偶数个0和奇数个1（用状态1表示）； x 奇数个0和偶数个1（用状态2表示）； x 奇数个0和奇数个1（用状态3表示）； 所以，

x 状态0（偶数个0和偶数个1）读入1，则0和1的数目变为：偶数个0和奇数个1（状态1） x 状态0（偶数个0和偶数个1）读入0，则0和1的数目变为：奇数个0和偶数个1（状态2） x 状态1（偶数个0和奇数个1）读入1，则0和1的数目变为：偶数个0和偶数个1（状态0） x 状态1（偶数个0和奇数个1）读入0，则0和1的数目变为：奇数个0和奇数个1（状态3） x 状态2（奇数个0和偶数个1）读入1，则0和1的数目变为：奇数个0和奇数个1（状态3） x 状态2（奇数个0和偶数个1）读入0，则0和1的数目变为：偶数个0和偶数个1（状态0） x 状态3（奇数个0和奇数个1）读入1，则0和1的数目变为：奇数个0和偶数个1（状态2） x 状态3（奇数个0和奇数个1）读入0，则0和1的数目变为：偶数个0和奇数个1（状态1）

因为，所求为由偶数个0和偶数个1构成的所有0和1的串，故状态0既为初始状态又为终结状态，其状态转换图：

由此可以写出其正规文法为：

S0 → 1S1 | 0S2 | ε S1 → 1S0 | 0S3 | 1 S2 → 1S3 | 0S0 | 0 S3 → 1S2 | 0S1

在不考虑S0 → ε产生式的情况下，可以将文法变形为： S0 = 1S1 + 0S2 S1 = 1S0 + 0S3 + 1 S2 = 1S3 + 0S0 + 0 S3 = 1S2 + 0S1 所以： S0 = (00|11) S0 + (01|10) S3 + 11 + 00 (1) S3 = (00|11) S3 + (01|10) S0 + 01 + 10

(2) 解(2)式得： S3 = (00|11)* ((01|10) S0 + (01|10)) 代入(1)式得：

S0 = (00|11) S0 + (01|10) (00|11)*((01|10) S0 + (01|10)) + (00|11) => S0 = ((00|11) + (01|10) (00|11)*(01|10))S0 + (01|10) (00|11)*(01|10) + (00|11) => S0 = ((00|11)|(01|10) (00|11)*(01|10))*((00|11) + (01|10) (00|11)* (01|10)) => S0 = ((00|11)|(01|10) (00|11)* (01|10))+

因为S0→ε所以由偶数个0和偶数个1构成的所有0和1的串的正规定义为： S0 → ((00|11)|(01|10) (00|11)* (01|10))* (g) 由偶数个0和奇数个1构成的所有0和1的串。

［解答］ 此题目我们可以借鉴上题的结论来进行处理。

对于由偶数个0和奇数个1构成的所有0和1的串，我们分情况讨论：

1

(1) 若符号串首字符为0，则剩余字符串必然是奇数个0和奇数个1，因此我们必须在上题偶数个0和偶数个1的符号串基础上再读入10（红色轨迹）或01（蓝色轨迹），又因为在0→1和1→3的过程中可以进行多次循环（红色虚线轨迹），同理0→2和2→3（蓝色虚线轨迹），所以还必须增加符号串(00|11)*，我们用S0表示偶数个0和偶数个1， 用S表示偶数个0和奇数个1则其正规定义为： S → 0(00|11)*(01|10) S0 S0 → ((00|11)|(01|10) (00|11)* (01|10))*

(2) 若符号串首字符为1，则剩余字符串必然是偶数个0和偶数个1，其正规定义为： S → 1S0

S0 → ((00|11)|(01|10) (00|11)* (01|10))* 综合(1)和(2)可得，偶数个0和奇数个1构成的所有0和1串其正规定义为： S → 0(00|11)*(01|10) S0|1S0 S0 → ((00|11)|(01|10) (00|11)* (01|10))* 2.7(c) ((ε|a)b*)* start ε ε a ε ε εε ε εbε ε ε

ababbab:s->4->0->1->5->6->7->8->4->0->1->5->6->7->6->7->8->4->0->1->5->6->7->8->f

2.12 为下列正规式构造最简的DFA (b) (a|b)* a (a|b) (a|b)

(1) 根据算法2.4构造该正规式所对应的NFA，如图所示。

(2) 根据算法2.2（子集法）将NFA转换成与之等价的DFA（确定化过程） 初始状态 S0 = ε-closure(0) = {0, 1, 2, 4, 7} 标记状态S0

2

S1 = ε-closure(move(S0, a)) = ε-closure({5, 8}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11} S2 = ε-closure(move(S0, b)) = ε-closure({3}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7} 标记状态S1

S3 = ε-closure(move(S1, a)) = ε-closure({5, 8, 12}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16} S4 = ε-closure(move(S1, b)) = ε-closure({3, 10}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 16} 标记状态S2

S1 = ε-closure(move(S2, a)) = ε-closure({5, 8}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11} S2 = ε-closure(move(S2, b)) = ε-closure({3}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7} 标记状态S3

S5 = ε-closure(move(S3, a)) = ε-closure({5, 8, 12, 17}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18}

S6 = ε-closure(move(S3, b)) = ε-closure({3, 10, 15}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 16, 18} 标记状态S4 S7 = ε-closure(move(S4, a)) = ε-closure({5, 8, 17}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 17, 18}

S8 = ε-closure(move(S4, b)) = ε-closure({3, 15}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 15, 18} 标记状态S5

S5 = ε-closure(move(S5, a)) = ε-closure({5, 8, 12, 17}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18} S6 = ε-closure(move(S5, b)) = ε-closure({3, 10, 15}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 16, 18} 标记状态S6 S7 = ε-closure(move(S6, a)) = ε-closure({5, 8, 17}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 17, 18}

S8 = ε-closure(move(S6, b)) = ε-closure({3, 15}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 15, 18} 标记状态S7 S3 = ε-closure(move(S7, a)) = ε-closure({5, 8, 12}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16}

S4 = ε-closure(move(S7, b)) = ε-closure({3, 10}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 16} 标记状态S8

S1 = ε-closure(move(S8, a)) = ε-closure({5, 8}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11} S2 = ε-closure(move(S8, b)) = ε-closure({3}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

由以上可知，确定化后的DFA的状态集合S = {S0, S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8}，输入符号集合Σ = {a, b}，状态转换函数move如上，S0为开始状态，接收状态集合F = {S5, S6, S7, S8}，其状态转换图如下所示： (3) 根据算法2.3过将DFA最小化

第一次划分：{S0, S1, S2, S3, S4} {S5, S6, S7, S8} {S0, S1, S2, S3, S4}a = {S1, S3, S1, S5, S7} 第二次划分：{S0, S1, S2} {S3, S4} {S5, S6, S7, S8} {S0, S1, S2}a = {S1, S3, S1} 第三次划分：{S0, S2} {S1} {S3, S4} {S5, S6, S7, S8}

{S0, S2}a = {S1} {S0, S2}b = {S2} S0, S2不可区分，即等价。 {S5, S6, S7, S8}a = {S5, S7, S3, S1} 第四次划分：{S0, S2} {S1} {S3, S4} {S5, S6} {S7, S8} {S3, S4}a = {S5, S7} 第五次划分：{S0, S2} {S1} {S3} {S4} {S5, S6} {S7, S8} {S5, S6}a = {S5, S7} 第六次划分：{S0, S2} {S1} {S3} {S4} {S5} {S6} {S7, S8} {S7, S8}a = {S3, S1} 第七次划分：{S0, S2} {S1} {S3} {S4} {S5} {S6} {S7} {S8} 集合不可再划分，

所以S0, S2等价，选取S0表示{S0, S2}，其状态转换图，即题目所要求的最简DFA如下所示：

第三章

3.1

3

3.2

3.10

3.11

4