第一章反比例函数
知识点：1.定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其中x
是自变量，y是函数，自变量x的取值是不等于0的一切实数。
kx
说明：1）y的取值范围是一切非零的实数。
2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以
1写成xy=k ；y?kx?1；y?k（k为常数，k≠0）
xk3）反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x的分式，也就
x是说，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式，如y?
13，y?等都是反比例函数，
1x
x21就不是关于x的反比例函数。 x?22. 用待定系数法求反比例函数的解析式 但y?k只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k的x值，从而确定其解析式。
由于反比例函数y＝3. 反比例函数的画法：
1）列表；2）描点；3）连线
注：（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”
为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，
使画出的图象更精确
1
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限
靠近两坐标轴
4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图
形。有两条对称轴：直线y=x和 y= －x；对称中心是：原点 5. 性质:
反比例函数 y＝k＜0 k（k为常数，k≠0） xk的取值 图像 k＞0 性质 a) x的取值范围是x≠0；y的取a) x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0; 值范围是y≠0; b) 函数的图像两支分别位于第b) 函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 y值随x值的增大而减小。 说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交点。
3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．
4）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（双曲线的另一支上． 图象关于直线在双曲线的另一支上．
对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（
，）在
，）
2
k6. 反比例函数y＝（k≠0）中的比例系数k的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐
xk标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y＝（k≠0）上的任意一
x点P（x , y）做x轴、y轴的垂线PA、PB，所得矩形OBPA的面积S=PA·PB=∣xy∣=∣k∣。
k2 推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为
7. 经典例题考察：
1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k（k≠0），那么x与y这两个量成反比例的关系，这里的x、y可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如y－1
kk与x+1成反比例，则y?1?；若y与x2 成反比例，则y?2成反比例关系，x和y不一
x?1xk定是反比例函数；但反比例函数y?（k≠0）必成反比例关系。
x2）坐标系中的求不规则图形的面积
3）反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题 8 反比例函数与一次函数的联系．
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
3
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关
于原点成中心对称．
8. 实际问题与反比例函数的应用
1）步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型→利用反比例函数解决相关问题，建立
反比例函数模型是解决问题的关键。 思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。 题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到函
数关系式，并解决问题。 2）反比例函数的应用
（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积 （2）反比例函数在其他学科中的应用，
a) 物理学中，电压一定时，电阻R与电流强度I成反比例函数，I?U Rb) 当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也
会随之改变，密度?（单位：kg/m3）是体积v的反比例函数，解析式可以表达为??k vc) 收音机刻度盘的波长l与频率f关系式: l?k fd) 压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例关系，即P?F SP(3) Fv?e) 当汽车输出功率P一定时，汽车行驶速度v与汽车所受的负载即阻力F成反比例关系，
反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。 注：实际问题中一定要注意自变量x的取值范围。
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