有函数f(x)在区间[??0,??0]上连续，从而有界，即存在正数M， 使得对任意属于[??0,??0]的x，有f(x)?M. 于是有：f(x)???f(k?k?1nk?1n0?x0)?f((k?1)?0?x0)??f(x0).

所以有：f(x)??f(k?0?x0)?f((k?1)?0?x0)?f(x0)?n?M.(3). 再由x?n0?0?x0知n?x?x0?0，代入（3）式有：

f(x)?x?x0?01?M?x?x0?0?M?x?0?x0?0?M?1?0x?(1?M).(4)

我们记

?0?a,1?M?b，则a?0,b?0

则（4）式可记为f(x)?ax?b,x?(??,??).

注：此定理的几何意义为：当函数f(x)在区间(??,??)上一致连续时，曲线

y?f(x)的斜率有上界a.

定理2 设函数f(x)在?a,???（这里a?0）上有定义.若函数f(x)在?a,???一致连续，则函数

f(x)在区间?a,???上有界. x证明 由函数f(x)在区间?a,???上一致连续，得：对正数??1，存在正数?，

'''''''''当x,x??a,???，且x?x??时，有f(x)?f(x)?1.再由函数f(x)在区间

[a,a??]上连续，从而有界，即存在正数M，使得对任意属于区间[a,a??]的x，

都有f(x)?M.

对任给的属于区间?a,???的x，存在自然数n0?N（N为自然数集）及属于

[0,?]的实数x*，使得x?a?0?nf(x?)??k?1n0*?，x有x?0n??a*?，x则

f?(ax)f(?x(??k1)?)?f?x(k?*)

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*得f(x)??f(x?(k?1)?)?f(x?k)?f(a?x)?n0?M.

k?1n0*又因为x?[0,?]及x?a?0，所以有

n0?Mn0?M1Mf(x)???? xa?n0??x*a?n0??a我们记M0?1??f(x)M?M. ，则M0?0.即有xa所以函数f(x)在区间?a,???上有界. 例1 讨论f(x)?x在?0,???上一致连续性 解: f(x)于?0,???上连续, 设a?0

① 当

x1?0?x?ax1?时, 设

0?x1?a,0?x2?a,

x1?x2??，则

x2??x2,?0?Af????Supf?x1??f?x2??? 且lim???0,

??0所以f(x)在?0,a?上一致连续.

② 当a?x???时,

x1?x2?x1?x2x1?x2??2a, 且?lim?0??2a?0

所以f(x)在?a,???上一致连续. 综上,f(x)在?0,???上一致连续.

2例2 证明y?f?x??x 在?a,b?上一致连续, 但在???,???上不一致连续.

22解: 当x1,x2??a,b?, x1?x2??时,x1?x2?x1?x2x1?x2??a?b??,

?a?b???0所以f(x)在?a,b?上一致连续. 而?lim?0????0, 取x1?1?,x2?21?2??2?,x1,x2????,???, 且有x?x?11221???2r?1?,

Af????Supf?x1??f?x2??x1?x2??1而lim???01????

所以f(x)在???,???上不一致连续. 例3 讨论f?x??1在?0,???上一致连续性. x9

?1?'?2??12?'xn?xn?lim????0, ??解: 设两数列?xn????,?xn????,(n?1,2,...) , limn??n??nn??n??n??'但limf(xn)?f(xn)?limn?n??n??n1?0，所以f?x??在?0,???上不一致连续. 2x由以上几例可看出本文的几种方法对判别函数的一致连续性来说较为方便、简洁, 显示出了它的优越性.

结论

证明函数一致连续性有很多种不同的方法，本文从不同类型区间出发，给出了函数一致连续性的证明，运用利普希茨条件、康托定理和振幅数来证明函数一致连续性，通过证明，我们对上述一些定理进行了复习，从而更加深入熟练的掌握函数一致连续性的证明方法，以及它们的运用.

参考文献：

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致 谢

本次论文要大力感谢我院给予的支持，在我院提供的资料及设备支持下使得论文写作得以顺利完成。与此同时还要非常感谢周老师的悉心指导，在论文格式的设计及内容方面都得到周老师的帮助,周老师给予我细心的指导，多次给本文的撰写提出了宝贵的意见,真诚的感谢周老师的指导，在此也向直接或间接关心帮助过我的所有老师、同学表示由衷的谢意!

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