数学

解：（1）由已知可得a8??2，所以a3?a13=2a8??4，S15=

15?a1?a15??15a8??30

2?a1?2?a1?642由题?，所以或? aa?128,a?a?66???1n1n?an?64?an?21?q?2?a1?anq?q?又Sn?或??126,所以?2

n?61?q???n?6?3??S99??a1?a4???a97???a2?a6???a98???a3?a6???a99??11???2??1??a3?a6???a99??qq??a3?a6???a99?44

评注：分解重组，引导发现（a1?a4???a97）、（a2?a6???a89使问题获得简单的解法。

）与（a3?a6???a99）的关系，从而

?4?设等差数列共2n-1项,则

S奇S偶?a1?a2n?1?n??a2?a2n?2?(n?1)22?n80??n?16 n?175所以此数列共31项.中间项?S奇?S偶?80?75?5

评注：（1）在项数为2n?1项的等差数列{an}中，S奇=(n+1)a中,S偶=na中,S2n+1=(2n+1)a中； （2）在项数为2n项的等差数列{an}中S奇=nan,S偶=nan?1,S2n+1=n(an?an?1)．

变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；

（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,n?N*,a3a5?2a4a6?a5a7?81，则

a4?a6? 9 ．

（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是 210 ． (4) 等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.例2、设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，

（1）求公差d的取值范围。

（2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。

a1588。（=） b1561?2a1?11d?012?1112?13， d?0，S13?13a1?d?0，即?22?a1?6d?024?d??3。 由a3?a1?2d?12,代入得：?7（2）解一：由S12?6?a6?a7??0，S13?13a7?0可知a6?0,a7?0，所以S6最大。

解：（1）S12?12a1?解二：Sn?24d2?5d???d??3可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的，由n??12?n?722??2点，根据图象可知S6最大。

24d?5d?24?d5d?242?d??3得 )，由?解三：Sn??n???(2?2d?22d75d?24136??。又抛物线开口向下，所以S6最大。

2d2评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的

性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）

变式：(1) 已知等差数列{an}中，a1?0,S5?S12，问S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大。

- 5 -

数学

(2) 数列{an}是首项为1000，公比为

1的等比数列，数列{bn}满足 101bk?(lga1?lga2???lgak)(k?N*)，

k（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn?．

略解：（1）由题得an?104?n，∴lgan?4?n，∴{lgan}是首项为3，公差为?1的AP。

∴lga1?lga2???lgak?3k?k(k?1)1n(n?1)7?n，∴bn?[3n? ]?2n22?bn?021由?，得6?n?7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为S6?S7?

b?02?n?1（2）由（1）当n?7时，bn?0，当n?7时，bn?0，

7?n2)n??1n2?13n ∴当n?7时，Sn??b1?b2???bn?(244113当n?7时，Sn??b1???b7?b8???bn?2S7?Sn?n2?n?21

44?1213?n?n(n?7)??44∴Sn???． ?1n2?13n?21(n?7)??44例3、(1) 由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4

项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式．

3??a1(1?q2n)11a1q(1?q2n)①

??1?q2解：当q?1时，得2na1?11na1不成立，∴q?1，∴?1?q

② ?aq2?aq3?11aq?aq3?111111由①得q?，代入②得a1?10，∴an?()n?2．

1010说明：用等比数列前n项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．

(2) 若数列{an}成等差数列，且Sm?n,Sn?m(m?n)，求Sn?m． 解：（法一）基本量法（略）；

2?(1)?An?Bn?m （法二）设Sn?An?Bn，则? 2(2)??Am?Bm?n(1)?(2)得：(n2?m2)A?(n?m)B?m?n，?m?n， ∴(m?n)A?B??1，

2∴Sn?m?(n?m)A?(n?m)B??(n?m)．

评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征Sn?An?Bn。

变式：设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{7?6?S?7a?d?71??72解：法一：（基本量法）设{an}首项为a1，公差为d，则?

15?14?S?15a?d?75151?2?22Sn}的前n项和，求Tn。 nS?a??2n?1n5n(n?1)?? ∴ ?1 ∴ Sn??2?，∴ n??2?d?1n2222?- 6 -

数学

∴ 此式为n的一次函数， ∴ {

Sn1a}为等差数列，∴ Tn?n2?n。 n442

2??S7?A?7?7B?7法二：{an}为等差数列，设Sn=An+Bn，∴ ? 2??S15?A?15?15B?751?A??2 ∴ S?1n2?5n，下略。 解之得：??n522?B???2?

例4、已知等差数列110,116,122,?，

（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；

（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：an?110?6(n?1)?6n?104，

（1）由450?6n?104?600，得58?n?82，又n?N*,

1(a58?a82)?25?13100． 2（2）∵an?110?6(n?1)，∴要使an能被5整除，只要n?1能被5整除，即n?1?5k，

∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和Sn?∴n?5k?1，∴58?5k?1?82，∴12?k?16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和S?5(a61?a81)?2650．

2等差、等比数列性质及应用复习参考题

一、选择题

1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ） A.34 B.35 C.36 D.37 2.{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是（ ） A.24

B.27

C.30

D.33

3.设函数f(x)满足f(n+1)=

2f(n)?n(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（ ） 2A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0,a2003.a2004?0，则使前n项和

Sn?0成立的最大自然数n是：

（ ）

A．4005 B．4006 C．4007 D．4008

5.等差数列{an}中，已知a1=－6,an=0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为（ ）

C.7 D.8 o

6. 设命题甲:△ABC的一个内角为60，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么( )

(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为（ ）

A.180 B.－180 C.90 D.－90

8. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）

A.9 B.10 C.19 D.29

9.由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4, a2+a5, a3+a6…是（ ） A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列

- 7 -

A.5 B.6

数学

C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列

10.在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为（ ） A.14 二、填空题

B.15

C.16

D.17

2an2(n∈N*),则是这个数列的第_________项. an?2712.在等差数列{an}中，已知S100=10，S10=100，则S110=_________.

13.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______.

Sa2n14.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若n=,则11=_________.

b11Tn3n?111.在数列{an}中，a1=1,an+1=

15. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则16. 若数列{an}是等差数列，则数列?a1?a3?a9的值是

a2?a4?a10?a1?a2???an??也为等差数列，类比上述性质，相应地：若{cn}n??是等比数列，且cn>0，则{dn}是等比数列,其中dn? ．

17. 设m∈N+，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是 三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？

19. 在等差数列{an}中，若a1=25且S9=S17,求数列前多少项和最大.

20. 已知f(x+1)=x2－4,等差数列{an}中,a1=f(x－1), a2=－

(1)求x值； （2）求a2+a5+a8+…+a26的值.

21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=

3,a3=f(x). 21. 21}是等差数列； （2）求an表达式； Sn222

（3）若bn=2(1－n)an(n≥2),求证：b2+b3+…+bn<1.

(1)求证：{

- 8 -

数学

13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案

一、选择题：

1、 C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、B 二、填空提：

11、6 12、－110 13、5 14、

1321 15、 16、nC1?C2?Cn 17、8204 3216三、解答题：

18． 设这两个数列分别为{an}、{bn},则an=3n+2,bn=4n－1,令ak=bm,则3k+2=4m－1.

∴3k=3(m－1)+m,∴m被3整除. 设m=3p(p∈N),则k=4p－1.

∵k、m∈［1,100］. 则1≤3p≤100且1≤p≤25. ∴它们共有25个相同的项. 19. ∵S9=S17，a1=25,∴9×25+

∴Sn=25n+

*

9?(9?1)17(17?1)d=17×25+d，解得d=－2, 2220.、（1）∵f(x－1)=(x－1－1)2－4=(x－2)2－4

∴f(x)=(x－1)2－4,∴a1=(x－2)2－4,a3=(x－1)2－4， 又a1+a3=2a2,解得x=0或x=3.

(2)∵ a1、a2、a3分别为0、－∴an=－

n(n?1)2

(－2)=－(n－13)+169.由二次函数性质知前13项和最大. 233、－3或－3、－、0 2233(n－1)或an=(n－3) 2239351① 当an=－(n－1)时，a2+a5+…+a26=(a2+a26)=

22239297② 当an=(n－3)时，a2+a5+…+a26=(a2+a26)=.

22221、 （1）∵－an=2SnSn－1,∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1(n≥2)，又Sn≠0,

11111－=2,又==2,∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列. SnSn?1SnS1a1111（2）由（1）=2+(n－1)2=2n,∴Sn=，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－

2n(n?1)Sn2n∴

?1 (n?1)?1?2n=1时，a1=S1=,∴an=?

12?- (n?2)?2n(n-1)?(3) 由（2）知bn=2(1－n)an=∴b22+b32+…+bn2=

1 n111111++…+<++…+ 222(n?1)n2?31?23n2111111=(1－)+(－)+…+(－)=1－<1.

223n?1nn

- 9 -