第11讲 角

考点?方法?破译

1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算． 2．了解角平分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等．

经典?考题?赏析

例1：如图AOE是直线，图中小于平角的角共有（ ）

⑶钟表在8：30时，分针与时针的夹角为 度． 03．计算：

〃

⑴23°45′36＋66°14′24″； ⑵180°－98°24′30″； ⑶15°50′42″×3； ⑷88°14′48″÷4 例3：若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝ ． 【解法指导】两个角的和等于90°叫做余角，两个角的和等于180°叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．

解：根据题意得90°－∠α＋180°－∠α＝180°，所以∠α＝45° 【变式题组】 01．如图所示，那么∠2与

A．互补

1（∠1－∠2）之间的关系是（ ） 2B．互余 C．和为45° D．和为22.5°

A．7个 B．9个 C．8个 D．10个

【解法指导】公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角注意抓住概念，表示角用大写字母表示或希腊字母及数字表示，故选择B．

【变式题组】

01．在下图中一共有几个角？它们应如何表示．

02．55°角的余角是（ ）

A．55° B．45° C．35°

D．125°

103．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③（∠α

21＋∠β）④（∠α－∠β）（ ）

2A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例4：如图，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝ ．

02．下列语句正确的是（ ）

A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角 B．两条直线相交组成的图形叫做角 C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角 D．两条线段相交组成的图形叫做角 03．关于平角和周角的说法正确的是（ ）

A．平角是一条直线 B．周角是一条射线

C．反向延长射线OA，就是成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角 例2：38.33°可化为（ ）

〃〃〃

A．38°30′3 B．38°33＇ C．38°30′30″ D．38°19′48″

【解法指导】注意度、分、秒是60进制的，把度转化成分要乘60，把分转化成秒要乘60；反之把秒化成分要除以60，把分化成度要除以60，把秒化成度要除以3600，故选择D．

【变式题组】

01．把下列各角化成用度表示的角：

〃〃〃

⑴15°24′36″ ⑵36°59′96″ ⑶50°65′60″ 02．⑴3.76°＝ 度 分 秒

⑵3.76°＝ 分 秒

【解法指导】注意找出图中角的和、差、倍、分关系，图中有∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠AOC． 解：因为∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°，又因为OC平分∠AOD，所以∠AOC＝＝

1∠AOD21×150°＝75°． 2【变式题组】

01．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于（ ）

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A．20° B．40° C．50° 02．如图直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2等于（ ）

D．80°

解：如图，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA，以O为顶点，正南方向线为始

边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°－（45°＋60°）＝75°．

【变式题组】 01．如图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针旋转

A．50° B．60° C．140° D．160°

03．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光

线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（ ） A．45° B．60° C．75° D．80°

例5：如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（ ）

1周． 4

A．160° B．180° C．120° D．150°

【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针的旋转一

11圈12小时，则它1小时转的角度为360°×＝30°，1分钟转过的角度为30°×＝0.5°，分针转一圈

1260是1个小时，分针每分钟转过的角度为360°×1＝6°．故选择A． 60【变式题组】

01．钟表上12时15分，时针与分针的夹角为（ ）

A．90° B．82．5° C．67.5° D．60° 02．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是 ．

例6：考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．

【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线OA，OB是关键．

⑴指针所指方向为 ； ⑵图中互余的角有 对，与∠BOC互补的角是 ． 02．轮船航行到C处时，观察到小岛B的方向是北偏西35°，同时从B观察到轮船C的方向是（ ）

A．南偏西35° B．北偏西35° C．南偏东35° D．南偏东55° 03．如图下列说法不正确的是（ ）

A．OA的方向是东偏北30° B．OB的方向是西偏北60° C．OC的方向是西偏南15° D．OD的方向是西南方向

例7：如图，O是直线 AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有 对．

【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数

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入手，故共有6对．

【变式题组】

01．如图所示，A、O、B在一条直线上，∠AOC＝

07．已知∠AOB＝30°，又自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB ＝4：3，那么∠BOC等于

（ ） A．10° B．40° C．45° D．70°或10° 08．已知∠AOB＝120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3，那么∠AOC的度数是（ ）

A．40° B．40°或80° C．30° D．30°或90° 09． ⑴如图所示，已知∠AOB是直角，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度

数；

⑵如果⑴中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数； ⑶你从⑴⑵的结果中，能发现什么规律？

1∠BOC＋30°，OE平分∠BOC，则∠BOE＝ ． 2

02．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求

∠BOC、∠COD的度数．

03．如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、

且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．

∠AOB、

∠AOC，

演练巩固 反馈提高

01．已知∠α＝35°，则∠α的余角是（ ）

A．55° B．45° C．145° D．135°

02．如图直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若∠α＝44°，则∠β等于（ ）

A．56° B．46° C．45° D．44°

03．把一张长方形的纸片按图的方位折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB＇的延长线上，

则∠EMF的度数是（ ） A．85° B．90° C．95° D．100°

04．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用A、B、C表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学

校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应是（ ） A．65° B．35° C．165° D．135° 05．如果∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，则必有（ ）

10．如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．

⑴若∠AOD＝70°，∠MON＝50°，求∠BOC的大小； ⑵若∠AOD＝α，∠MON＝β，求∠BOC的大小．（用字母α、β的式子表示） 11．如图所示，已知∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数．

1213∠θ B． ∠β＝∠θ C． ∠β＝∠θ D． ∠β＝∠θ 234306．某校初一年级在下午3：00开展“阳光体育”活动，下午3：00这一时刻，时针上分针与时针所夹角

等于 °．

A． ∠β＝

12．如图所示，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线．

⑴求∠DOE的度数；

⑵若只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数会改变吗？

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A．∠COD B．∠COE C．∠DOA D．∠COA 04．4点钟后，时针与分针第二次成90°，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）．

A．60 B．30 C．40 D．33 05．如图OM、ON、OP分别是∠AOB、∠BOC、∠AOC的平分线，则下列各式中成立的是（ ）

13．如图，根据图回答下列问题：

⑴∠AOC是哪两个角的和； ⑵∠AOB是哪两个角的差． 14．如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，根据图形回答问题：

⑴图中哪些角是∠2的2倍； ⑵图中哪些角是∠3的3倍；

1倍； 2⑷射线OC是哪个角的三等分线．

15．如图直线AB与CD相交于点O ，那么∠1＝∠2吗？试说明理由．

⑶图中哪些角是∠AOD的

A．∠AOP ＞∠MON B．∠AOP ＝∠MON C．∠AOP ＜∠MON D．以上情况都有可能 06．如图，∠AOC是直角，∠COD＝21.5°，且OB、OD分别是∠AOC、∠BOE的平分线，则∠AOE等

于（ ）

培优升级 奥赛检测

1是6°，则这个角是（ ） 17A．68° B．78° C．88° D．98° 02．用一副三角板可以画出大于0°且小于180°的不同角度数有（ ） 种．

A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 03．如图，∠AOB＝180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠BOD＝α，则与α余角

相等的是（ ） 01．一个角的补角的

A．111．5° B．138° C．134．5° D．178° 07．下列说法不正确的是（ ）

A．角的大小与角的边画出部分的长短无关 B．角的大小与它们的度数的大小是一至的 C．角的平分线是一条线段

D．角的和、差、倍、分的度数等于它们度数的和、差、倍、分 08．和艘轮船由A地向南偏西45°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西15°方向行驶40海

里到达C地，则A、C相距（ ）海里．

A．30 B．40 C．50 D．60 09． ∠A的补角是125°12＇，则它的余角是（ ）

A．54°18＇ B．35°12＇ C．35°48＇ D．54°48＇ 10．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（ ）

11倍 C．5倍 D．倍 2511．一个角的补角与这个角的余角的度数之比为3：1，则这个角是 度．

A．2倍 B．

12． α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算

1（α＋β＋γ）的值时，有三位同15学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确答案，则α＋β＋γ＝ ．

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13．已知∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，求∠MOC的度数．

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