第七章基本知识小结

⒈刚体的质心

定义：r???m?ciri/mr??r?c?dm/?dm

求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量

定义：I??m2ir2iI??rdm

平行轴定理 Io = Ic+md2 正交轴定理 Iz = Ix+Iy. 常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理

?p?mv?c?F??ma?c

⒋刚体对轴的角动量和转动定理

L?I????I?

⒌刚体的转动动能和重力势能

E2k?12I?Ep?mgyc

⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：

?F??ma?c??c?Ic?c

（不必考虑惯性力矩）

动能：E1212k?2mvc?2Ic?c

⒎刚体的平衡方程

?F??0， 对任意轴

???0

7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。⑵在此时间内，发动机转了多少转？

解：⑴?????(3000?1200)2?/60?t?15.7rad/s212 ⑵????2??20(30002?12002)(2?/60)22??2?15.7?26.39?102rad

对应的转数=???26.3922?2?3.14?10?420

7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为

??at?bt3?ct4(?:rad,t:s)。求t时刻的角速度和角加速度。

解：??d?dt?a?3bt2?4ct3??d?dt?6bt?12ct2

7.1.4 半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy坐标系，原点在轴上，x和y轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t2 (θ:rad,t:s)。⑴t=0时，⑵自t=0

开始转45o时，⑶转过90o时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影。 y

解：??d?dt?1.2?2t??d?dt?2.0 o A x ⑴t=0时，??1.2,vx?0vy??R?1.2?0.1?0.12m/s

aa222x??n??vy/R??0.12/0.1??0.144m/sa

y?a???R?2.0?0.1?0.2m/s2⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/s

vx???Rcos45???2.14?0.1?2/2??0.15m/svy??Rsin45??2.14?0.1?2/2?0.15m/s

a2x???Rcos45???Rcos45???Rcos45?(???2)??0.1?22(2.0?2.142)??0.465m/s2a

y??Rsin45???2Rsin45??Rsin45?(???2)?0.1?22(2.0?2.142)??0.182m/s2⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s

vx???R??2.78?0.1??0.278m/svy?0ax???R??2.0?0.1??0.2m/s2

a2y???R??2.782?0.1??0.77m/s2

7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂 A C AB和CD支承，以角速率ω=10rad/s逆时针转

动，求臂与铅直成45o时门中心G的速度和加 B D 速度。

· 解：因炉门在铅直面内作平动，所以门中 G 心G的速度、加速度与B点或D点相同，而B、 D两点作匀速圆周运动,因此

vG?vB??AB?10?1.5?15m/s，方向指向右下方，与水平方

向成45o；

aG?aB??2AB?102?1.5?150m/s2，方向指向右上方，与

水平方向成45o

7.1.6 收割机拨禾轮上面通常装4到 压板 6个压板，拨禾轮一边旋转，一边随收割 机前进。压板转到下方才发挥作用，一方

面把农作物压向切割器，一方面把切下来 切割器

的作物铺放在收割台上，因此要求压板运

动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反。

已知收割机前进速率为1.2m/s，拨禾轮直径1.5m，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度。

解：拨禾轮的运动是平面运动，其上任一点的速度等于拨禾轮轮心C随收割机前进的平动速度加上拨禾轮绕轮心转动的速度。压板运动到最低点时，其转动速度方向与收割机前进速度方向相反，压板相对地面（即农作物）的速度

v?vc??R?1.2?2??22.560?12??0.53m/s

负号表示压板挤压作物的速度方向与收割机前进方向相反。

7.1.7飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速2000rev/min. ⑴桨尖相对于飞机的线速率等于多少？⑵若飞机以250km/h的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。

解：⑴桨尖相对飞机的速度：

v'??r?2000?2?60?1.5?314m/s

⑵桨尖相对地面的速度：v??v?'?v?机地，飞机相对地面的速度与螺旋桨

相对飞机的速度总是垂直的，v机地?250?10360?60?69.4m/s

所以，v?v'2?v22机地?314?69.42?321.6m/s

显然，桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线

7.1.8桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？

解：设车轮半径为R=0.26m，发动机转速为n1, 驱动轮转速为n2, 汽车速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，

v?2?Rn2?2?Rn1/0.909，所以：

n909v0.909?166?103431?0.2?R?2?3.14?0.26?9.24?10rev/h?1.54?10rev/min

7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。⑴圆锥体为匀质；⑵密度为h的函数：ρ=ρ0（1-h/L）,ρ0为正常数。

解：建立图示坐标o-x,据对称性分析， L 质心必在x轴上,在x坐标处取一厚为dx o r a x 的质元 dm=ρπr2

dx，∵r/a=x/L，r=ax/L

∴ dm=ρπa2x2dx/L2 h ⑴圆锥体为匀质，即ρ为常数， L总质量：m??dm???a2L2?0x2dx?13??a2L 23质心：x?xdm??axdx/L2c??dm??3??a2L/3?L3?L330xdx?4L

⑵???1?h?x0(L)??0(1?LL)??0Lx

总质量：m??dm??0?a2L3?L0x3dx?124?0?aL 质心：xc??xdm4L?dm?L4?0x4dx?45L

7.2.3 长度为L的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）。

解：设杆在o-xy平面内运动。因杆 y 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和 竖直向下的重力的作用，在水平方向不受 外力作用，∴vcx=0,acx=0，即质心C无水

平方向的移动，只能逆着y轴作加速直线

运动，直到倒在桌面上。 o x

取杆的上端点的坐标为x,y，匀质杆的质心在其几何中心，由图示的任一瞬间的几何关系可知：4x2+y2=L2(x≥0,y≥0)

7.3.1 ⑴用积分法证明：质量为m常为l的匀质细杆对通过中心且与杆垂

直的轴线的转动惯量等于1212ml；⑵用积分法证明：质量为m半径为R的匀

质薄圆盘对通过中心且在盘面内的轴线的转动惯量等于

14mR2

证明：⑴取图示坐标，在坐标x处取一线元，dm?mldx，它对y轴的

转动惯量为：dI?my lx2dx，

x 整个细杆对y轴的转动惯量：

-l/2 dx l/2 l/2I?m?x2dx?m3ml3lx|l/2?l/2?3l(l3l318?8)?12ml2

?l/2⑵在坐标x处取细杆状质元，

R dm?m222R2?2R?xdx?2m??R2R?x2dx

x θ x 它对x轴的转动惯量：

dI?1dm(2R2?x2)2?1222m123dm(R?x)?3?R2(R2?x2)3/2dx

R整个圆盘对x轴的转动惯量：I?2m3?R2?(R2?x2)3/2dx ?R为了能求出积分，作如下变换：x?Rcos?,dx??Rsin?d?

(R2?x2)3/2?(R2?R2cos2?)3/2?(R2sin2?)3/2?R3sin3?

0代入上式：I?2m32mR2?3?R2sin3?(?Rsin?d?)?3?sin?d?

??R0?4据三角函数公式：sin2??1?cos2?1?cos2,cos2??2?2

?sin4??(1?cos2?2)2?14(1?2cos2??cos22?)?14(1?2cos2??1?cos4?131 2)?4(2?2cos2??2cos4?)I?2mR23??14(32?2cos2??12cos4?)d??mR2????6??3?2?d??0?cos2?d2??1?80?cos4?d4?? 0??mR26?(32??sin2?|??20?18sin4?|0)?14mR

7.3.2 图示实验用的摆，l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg,近似认为圆形部分为匀质圆盘，长杆部分为匀质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。 o

解：摆对o轴的转动惯量I等于杆对o轴的转动 l 惯量Il加上圆盘对o轴的转动惯量Ir，即I=Il+Ir.根据 平行轴定理

Im22l?1l212ll?ml(2)?13mll,r I?12m2r2mrr?r(l?r)I?1212l?r)23mll?2mrr?mr(

?13?4.9?0.922?12?24.5?0.082?24.5(0.92?0.08)2?26kgm27.3.3 在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。

解：大圆盘对过圆盘中心o且与盘面 R

o 垂直的轴线（以下简称o轴）的转动惯量 r r

为

I?122MR.由于对称放置，两个小圆 盘对o轴的转动惯量相等，设为I’，圆盘 质量的面密度σ=M/πR2，根据平行轴定理，

I'?1r2)r2?(??r2)(R22(??2)?Mr42R2?124Mr

设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o轴的转动惯量为I”

I\?I?2I'?1MR2?Mr4?12M(R2?r2?2r4/R22R22Mr?12)

7.3.5一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2，转速为ω=41.9rad/s，两制动闸瓦对轮的压力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ=0.4，轮半径为r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？

解：由转动定理：

??I?,????0.4?392?0.4I?28.0?15.68rad/s闸瓦

制动过程可视为匀减速转动，????/?t

闸瓦 ?t???/??41.9/15.68?2.67s

7.3.6 匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长为L，求打击中心与支点的距离。 y

解：建立图示坐标o-xyz,z轴垂直纸面向外。 N 据题意，杆受力及运动情况如图所示。由质心运 o x 动定理：N?mg?0,F?mac?mL2?(1) ac mg 由转动定理；F0A?Io??123mL?(2) A F