解：（1）由分层抽样原理知，所以女生人数为.200﹣110＝90；

＝，解得n＝200，

（2）由题意知抽取的女生人数为90人． 所以15+20+m+20+16+9+m＝90．解得m＝5； 根据题意得列联表如下：

男生 女生 合计

由表中数据，计算

所以没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关．

（3）从100名“比较了解”的学生中采用分层抽样的方法抽取6名．抽取的男女生各3人：

记样本中的3名女生为A、B、C，3名男生为a、b、c．从这6人中随机抽取2人，基本事件分别为：

共AB，AC，BC，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc15种；

至少一名女生的基本事件为AB，AC，BC，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共12种，

故所求的概率为

． 不太了解 60 40 100

比较了解 50 50 100

，

合计 110 90 200

20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱BB1⊥底面ABC，D为AA1

中点，M，N分别为BB1，CC1上的点，且满足BM＝C1N． （1）求证：平面DMN⊥平面BCC1B1，； （2）若三棱锥A1﹣DMN的体积为

，求三棱柱的侧棱长．

【分析】（1）分别取MN，BC中点E，F．连接DE，AF，EF，证明AF⊥BC．BB1⊥AF，推

出AF⊥平面BCC1B1．证明四边形ADEF为平行四边形．然后证明平面DMN⊥平面BCC1B1． （2）设侧棱长为m，求出

，过B作BH⊥AC于H，说明M到平面ACC1A1的距离＝

，求解即可．

B到平面ACC1A1的距离＝BH．通过

【解答】（1）证明：分别取MN，BC中点E，F．连接DE，AF，EF， ∵△ABC为正三角形．F为BC中点， ∴AF⊥BC．

又BB1⊥底面ABC，AF?平面ABC， ∴BB1⊥AF，BB1∩BC＝B，

∴AF⊥平面BCC1B1．∵E，F分别为MN，BC中点． ∴EF∥CN且

，

又BM＝C1N，∴BM+NC＝CC1， ∴

，

，

，

∵D为AA1中点，∴

∵AA1∥CC1且AA1＝CC1，∴AD∥CC1且

∴AD∥EF且AD＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形．∴DE∥AF， ∵AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1

DE?平面DMN，

∴平面DMN⊥平面BCC1B1． （2）解：设侧棱长为m，则

过B作BH⊥AC于H，与（1）同理可证BH⊥平面ACC1A1 ∵BB1∥平面ACC1A1，M∈BB1，∴BM∥平面ACC1A1． ∴M到平面ACC1A1的距离＝B到平面ACC1A1的距离＝BH． ∵△ABC为正三角形，∴∴又

，

． ，

，

∴，

∴三棱柱的侧棱长为6．

21．椭圆的上、下顶点分别为A，A'，离心率为，OA'的中

点为P，为坐标原点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）平行四边形ABCD的顶点B，C在椭圆E上运动，且直线BC经过点PP，求平行四边形ABCD的面积的最大值．

【分析】（1）由离心率及题意得b的值，和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程； （2）设直线BC与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长BC，再求A到直线

BC的距离，求出三角形ABC的面积的最大值，平行四边形的面积为三角形面积的2倍，

进而求出平行四边形面积的最大值． 解：（1）设椭圆E的半焦距为c，

由题意得|A'O|＝1．即b＝1．则a2﹣c2＝b2，∵联立①②得

，∴椭圆E的标准方程为

．

②

（2）如图，连接AC，则设直线BC的方程为

．由题意知直线BC的斜率存在．

，

联立得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3＝0，

∴

，

又，∴，

令，

∴S△ABC＝，

令∴

时，g（m）min＝

，易知g（m）在

，∴（S△ABC）max＝

单调递增， ，

又S平行四边形ABCD＝2S△ABC， ∴（S平行四边形ABCD）max＝3

，

．

∴平行四边形ABCD面积的最大值为

22．已知函数

（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线为x轴，求证f（x）≥0； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围， 【分析

】

（

1

）求出

函数

f（x）的定义域为

，利用切线的斜率，求出a，令g（x）＝e﹣ex．则g'（x）＝e﹣e，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解函数的单调区间即可．

（2）解法一：由（1）知ex≥ex，推出x﹣lnx≥1＞0．当a≤e时.

，构造函数，求解a 的范围；当a＞e时，fxx（1）＝e﹣a＜0，不满足题意，得到a的取值范围是（﹣∞，e]． 解法二：由（1）知ex≥ex．当x＞0时．lnex≥ln（ex）．得x﹣lnx≥1＞0．得