2018-2019学年江苏省无锡市江阴市澄东片九年级(下)期中数学试卷 解析版 下载本文

探究一:将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合),在BC边上有一动点P. (1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时,连接AP,求线段AP的长; (2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求∠PAB的度数.

探究二:如图④,将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转△DEF,使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点,连接MN.在旋转△DEF的过程中,△AMN的周长是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,请说明理由.

【分析】(1)如答图1所示,过点A作AG⊥BC于点G,构造Rt△APG,利用勾股定理求出AP的长度;

(2)如答图2所示,符合条件的点P有两个.解直角三角形,利用特殊角的三角函数值求出角的度数;

(3)如答图3所示,证明△AMD≌△CND,得AM=CN,则△AMN两直角边长度之和为定值;设AM=x,求出斜边MN的表达式,利用二次函数的性质求出MN的最小值,从而得到△AMN周长的最小值.

【解答】解:探究一:(1)依题意画出图形,如答图1所示:

由题意,得∠CFB=60°,FP为角平分线,则∠CFP=30°,

∴CF=BC?tan30°=3×∴CP=CF?tan∠CFP=

=×

, =1.

过点A作AG⊥BC于点G,则AG=BC=, ∴PG=CG﹣CP=﹣1=. 在Rt△APG中,由勾股定理得: AP=

(2)由(1)可知,FC=

长为半径画弧,与BC交于点P1、P2,则AP1

如答图2所示,以点A为圆心,以FC==AP2=

过点A过AG⊥BC于点G,则AG=BC=.

在Rt△AGP1中,cos∠P1AG=∴∠P1AG=30°,

∴∠P1AB=45°﹣30°=15°;

==,

同理求得,∠P2AG=30°,∠P2AB=45°+30°=75°. ∴∠PAB的度数为15°或75°.

探究二:△AMN的周长存在有最小值. 如答图3所示,连接AD.

∵△ABC为等腰直角三角形,点D为斜边BC的中点, ∴AD=CD,∠C=∠MAD=45°. ∵∠EDF=90°,∠ADC=90°, ∴∠MDA=∠NDC. ∵在△AMD与△CND中,

∴△AMD≌△CND(ASA). ∴AM=CN.

设AM=x,则CN=x,AN=AC﹣CN=在Rt△AMN中,由勾股定理得: MN=

BC﹣CN=

﹣x.

△AMN的周长为:AM+AN+MN=+,

当x=时,有最小值,最小值为

+=.

∴△AMN周长的最小值为

【点评】本题是几何综合题,考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点.难点在于第(3)问,由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点,再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值.

28.(10分)如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为M,对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(﹣3,0)和B.将抛物线y=x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°,点M1,A1为点M,A旋转后的对应点,旋转后的抛物线与y轴相交于C,D两点.

(1)写出点B的坐标及求抛物线y=x2+bx+c的解析式; (2)求证:A,M,A1三点在同一直线上;

(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点,是否存在一点P,使四边形PM1MD的面积最大?如果存在,请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积;如果不存在,请说明理由.

【分析】(1)根据抛物线的对称性即可写出B的坐标,根据对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(﹣3,0)代入即可得到方程﹣

=1,0=

﹣3b+c,解由这两

个组成的方程,即可求出b、c的值,即可得到答案;

(2)把x=1代入抛物线解析式即可得到M的坐标,根据旋转和图象即可求出M1、A1的坐标,设直线AM的表达式为y=kx+m,把A、M的坐标代入即可求出直线AM的解析式,把A1的坐标代入即可得到答案;

(3)存在点P使四边形PM1MD的面积最大.连接M1D,只要S△M1PD最大,先代入抛物线的解析式求出F的坐标,设点Q的坐标为(n, n2﹣n﹣

),设直线MF的

表达式为y=px+q,把M、F的坐标代入即可求出直线MF的解析式,设直线MF上有一点R(m,﹣m﹣),求出S△M1PD=﹣(m+2)2+

的最大值,求出m的值,进

一步求出Q、P的坐标,再求出四边形PM1MD的面积即可.

【解答】(1)解:∵抛物线y=x2+bx+c的顶点为M,对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(﹣3,0)和B, ∴点B的坐标为(5,0),