湖北省黄冈市2019年中考数学试题(含解析) 下载本文

在Rt△AED中,AE=BC=40m,∠EAD=45°, ∴ED=AEtan45°=20

m,

在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=40m, ∴AB=40

≈69.3m,

﹣20

≈29.3m.

则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=40

答:这两座建筑物AB,CD的高度分别为69.3m和29.3m.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

23.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE. (1)求证:△DBE是等腰三角形; (2)求证:△COE∽△CAB.

【分析】(1)连接OD,由DE是⊙O的切线,得出∠ODE=90°,∠ADO+∠BDE=90°,由∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,证出∠CAB=∠ADO,得出∠BDE=∠CBA,即可得出结论;

(2)证出CB是⊙O的切线,得出DE=EC,推出EC=EB,再由OA=OC,得出OE∥AB,即可得出结论.

【解答】证明:(1)连接OD,如图所示: ∵DE是⊙O的切线, ∴∠ODE=90°, ∴∠ADO+∠BDE=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠CBA=90°, ∵OA=OD, ∴∠CAB=∠ADO, ∴∠BDE=∠CBA, ∴EB=ED,

∴△DBE是等腰三角形;

(2)∵∠ACB=90°,AC是⊙O的直径, ∴CB是⊙O的切线, ∵DE是⊙O的切线, ∴DE=EC, ∵EB=ED, ∴EC=EB, ∵OA=OC, ∴OE∥AB, ∴△COE∽△CAB.

【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识,熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键.

24.(10分)某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红.经市场调研发现,草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图所示(0≤x≤100).已知草莓的产

销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1.

(1)直接写出草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式; (2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;

(3)为提高农民种植草莓的积极性,合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户,为确保合作社所获利润w′(万元)不低于55万元,产量至少要达到多少吨?

【分析】(1)分0≤x≤30;30≤x≤70;70≤x≤100三段求函数关系式,确定第2段利用待定系数法求解析式;

(2)利用w=yx﹣p和(1)中y与x的关系式得到w与x的关系式;

(3)把(2)中各段中的w分别减去0.3x得到w′与x的关系式,然后根据一次函数的性质和二次函数的性质求解.

【解答】解:(1)当0≤x≤30时,y=2.4; 当30≤x≤70时,设y=kx+b, 把(30,2.4),(70,2)代入得∴y=﹣0.01x+2.7; 当70≤x≤100时,y=2;

(2)当0≤x≤30时,w=2.4x﹣(x+1)=1.4x﹣1;

当30≤x≤70时,w=(﹣0.01x+2.7)x﹣(x+1)=﹣0.01x+1.7x﹣1; 当70≤x≤100时,w=2x﹣(x+1)=x﹣1;

(3)当0≤x<30时,w′=1.4x﹣1﹣0.3x=1.1x﹣1,当x=30时,w′的最大值为32,不合题意;

当30≤x≤70时,w′=﹣0.01x+1.7x﹣1﹣0.3x=﹣0.01x+1.4x﹣1=﹣0.01(x﹣70)+48,当x=70时,w′的最大值为48,不合题意;

当70≤x≤100时,w′=x﹣1﹣0.3x=0.7x﹣1,当x=100时,w′的最大值为69,此时0.7x﹣1≥55,解得x≥80,

2

2

2

2

,解得,

所以产量至少要达到80吨.

【点评】本题考查了一次函数的应用:学会建立函数模型的方法;确定自变量的范围和利用一次函数的性质是完整解决问题的关键.

25.(14分)如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣2,2),B(﹣2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M以每秒

个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、

点D重合),设运动时间为t(秒).

(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式;

(2)点P在(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若△PAM≌△PBM,求点P的坐标;

(3)当M在CD上运动时,如图②.过点M作MF⊥x轴,垂足为F,ME⊥AB,垂足为E.设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;

(4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否存在点Q,使得△HOK为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

【分析】(1)设函数解析式为y=ax+bx+c,将点A(﹣2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式即可;

(2)由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点,点P的纵坐标是1,则有1=﹣

﹣x+2,即可求P;

(x+2),OH=

2

2

(3)设点Q(m,0),直线BC的解析式y=﹣x+2,直线AQ的解析式y=﹣+2,求出点K(0,

+角形即可;

【解答】解:(1)设函数解析式为y=ax+bx+c,

2

),H(,

2

),由勾股定理可得OK=

2

,HK=+,分三种情况讨论△HOK为等腰三