在Rt△AED中，AE＝BC＝40m，∠EAD＝45°， ∴ED＝AEtan45°＝20

m，

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40m， ∴AB＝40

≈69.3m，

﹣20

≈29.3m．

则CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝40

答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE． （1）求证：△DBE是等腰三角形； （2）求证：△COE∽△CAB．

【分析】（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO+∠BDE＝90°，由∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可得出结论；

（2）证出CB是⊙O的切线，得出DE＝EC，推出EC＝EB，再由OA＝OC，得出OE∥AB，即可得出结论．

【解答】证明：（1）连接OD，如图所示： ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， ∴∠ADO+∠BDE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠CAB＝∠ADO， ∴∠BDE＝∠CBA， ∴EB＝ED，

∴△DBE是等腰三角形；

（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径， ∴CB是⊙O的切线， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE＝EC， ∵EB＝ED， ∴EC＝EB， ∵OA＝OC， ∴OE∥AB， ∴△COE∽△CAB．

【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．

24．（10分）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产

销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．

（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式； （2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；

（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？

【分析】（1）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；

（2）利用w＝yx﹣p和（1）中y与x的关系式得到w与x的关系式；

（3）把（2）中各段中的w分别减去0.3x得到w′与x的关系式，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．

【解答】解：（1）当0≤x≤30时，y＝2.4； 当30≤x≤70时，设y＝kx+b， 把（30，2.4），（70，2）代入得∴y＝﹣0.01x+2.7； 当70≤x≤100时，y＝2；

（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1；

当30≤x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x+1.7x﹣1； 当70≤x≤100时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；

（3）当0≤x＜30时，w′＝1.4x﹣1﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w′的最大值为32，不合题意；

当30≤x≤70时，w′＝﹣0.01x+1.7x﹣1﹣0.3x＝﹣0.01x+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）+48，当x＝70时，w′的最大值为48，不合题意；

当70≤x≤100时，w′＝x﹣1﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w′的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80，

2

2

2

2

，解得，

所以产量至少要达到80吨．

【点评】本题考查了一次函数的应用：学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一次函数的性质是完整解决问题的关键．

25．（14分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒

个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、

点D重合），设运动时间为t（秒）．

（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；

（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设函数解析式为y＝ax+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；

（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝﹣

﹣x+2，即可求P；

（x+2），OH＝

2

2

（3）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式y＝﹣+2，求出点K（0，

+角形即可；

【解答】解：（1）设函数解析式为y＝ax+bx+c，

2

），H（，

2

），由勾股定理可得OK＝

2

，HK＝+，分三种情况讨论△HOK为等腰三