19．(本题满分l2分)

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC'D，使得平面BC'D?平面ABD． (1)求证：C'D?平面ABD；

(2)求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值． 20．(本题满分l3分)

已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于它的一个顶点恰好是抛物线x2?83y的焦点． (1)求椭圆C的方程；

(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同

的两个动点，且满足?APQ=?BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由． 21．(本题满分l4分)

1，2x2?2x?a 已知函数fn(x)?，其中n?N*，a?R，e是自然对数的底数． nxe (1)求函数g(x)?f1(x)?f2(x)的零点；

(2)若对任意n?N*，fn(x)均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；

(3)已知k，m?N*，k

数学答案（理）

一、选择题： DCBBA BBDCA 二、填空题 11. ?3 12. 三、解答题

131 13．?192x2 14. 15．①②③ 4516．解：（1）由m?n?0得2cos2x?23sinxcosx?y?0，………… 2分 即y?2cos2x?23sinxcosx=cos2x?3sin2x?1

????2sin?2x???1，

6??所以f?x??2sin?2x???????1，其最小正周期为?.……………………… 6分 6?（2）由题意得f()?3， 所以A?

由正弦定理得b?A2?6?2k???2(k?Z)，因为0?A??，所以A??3． ……… 8分

443sinB，c?3sinC， 33b?c?4343sinB?sinC33

?43432??sinB?sin(?B)?4sin(B?)， ……………………… 10分 3336?2??B??0,?3?1? 1]，?b?c?(2,4]， ?,?sin(B?)?(，62?所以b?c的取值范围为(2,4]. ……………………………………… 12分

11，an，Sn成等差数列，∴2an?Sn?，……………… 1分 2211当n?1时，2a1?S1?，?a1?，………………………………… 2分

2211当n?2时，Sn?2an?，Sn?1?2an?1?，

2217.解(1) Q两式相减得：an?Sn?Sn?1?2an?2an?1，?n?2， ………… 4分

an?1 所以数列?an?是首项为

a1，公比为2的等比数列， 2…………………………………………………… 6分

2n?1?2an?a1?2n?1?2n?2（2）bn?log2a2n?1.

?log2a2n?3?log22?log222n?3?2?(2n?1)(2n?1)

111111???(?)…………………… 10分 bn2n?12n?122n?12n?11111111111???LL??（[1?）（+-）+L+（?)]b1b2b3bn23352n?12n?1

=

111…………………………………………… 12分 (1?)?22n?12.

解：（1）∵ N?15,M?6,n?3 ,?的可能值为0，1，2，3

3?kC6k?C9其分布列为P(??k)? (k?0 , 1 , 2 , 3)………………… 3分 3C15? p 0 1 2 3 84 455216 455135 45520 455………………… 6分

（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为p?一年中空气质量达到一级的天数为? 则?～B?360,? , 所以E??360?62? 155??2?5?2?144(天) ……………………11分 5一年中空气质量达到一级的天数为144天 ……………………………… 12分 19. 证明：（1）平行四边形ABCD中，AB?6，AD?10，BD?8， 沿直线BD将△BCD翻折成△BC?D 可知CD?6，BC??BC?10，BD?8， 即BC'2?C'D2?BD2，

C'D?BD． ………………………………………………… 2分

∵平面BC?D⊥平面ABD，平面BC?DI平面ABD=BD，

C?D?平面BC?D，∴C?D?平面ABD． ……………………………… 5分

（2）由（1）知C?D?平面ABD，且CD?BD，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D?xyz． …………………… 6分 则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C'(0,0,6)． ∵E是线段AD的中点，

uuur∴E(4,3,0)，BD?(?8,0,0)．

uuuruuuur在平面BEC?中，BE?(?4,3,0)，BC'?(?8,0,6)， 设平面BEC?法向量为n?(x,y,z)，

z C?x B C uuur???4x?3y?0?BE?n?0∴ ?uuuu，即?， r?8y?6z?0???BC'?n?0

令x?3，得y?4,z?4，故n?(3,4,4)．………9分

A E y D 设直线BD与平面BEC?所成角为?，则

uuuruuur|n?BD|341uuur?． ……………………………… 11分 sin??|cos?n,BD?|?41|n|?|BD|∴ 直线BD与平面BEC?所成角的正弦值为

341． …………………… 12分 41x2y220.解(1)设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)ab

则b?23. 由

c12?,a?c2?b2,得a?4， a2x2y2∴椭圆C的方程为??1. ………………………………… 5分

1612(2) 当?APQ??BPQ时，PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k, 则PB的斜率为?k,PA的直线方程为y?3?k(x?2),

?y?3?k(x?2) ?由 ?x2整理得 y2?1???1612(3?4k2)x2?8(3?2k)kx?4(3?2k)2?48?0, ……………………… 9分

x1?2?8(2k?3)k ,

3?4k2同理PB的直线方程为y?3??k(x?2), 可得x2?2??8k(?2k?3)8k(2k?3) ?3?4k23?4k216k2?12?48k∴x1?x2? , ……………………………… 12分 ,x1?x2?23?4k3?4k2kAB?y1?y2k(x1?2)?3?k(x2?2)?3k(x1?x2)?4k1??? ,

x1?x2x1?x2x1?x22所以AB的斜率为定值

1. …………………………………………… 13分 2x2?2x?ax2?2x?a(x2?2x?a)(ex?1)??21.解：（1）g(x)?f1(x)?f2(x)?， x2x2xeee 设h(x)?x?2x?a, ??4?4a

①当a??1时，??0,函数g(x)有一个零点：x1?0. …………… 1分 ②当a??1时，??0,函数g(x)有两个零点：x1?0,x2?1. ……… 2分 ③当a?0时，??0,函数g(x)有两个零点：x1?0,x2?2. ………… 3分 ④当a??1,a?0时，??0,函数g(x)有三个零点：

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