∴△EMF∽△NEG ∴

∴EF?EG＝NG?MF ∴（

a）（

b）＝ba

整理得：16a＝90﹣27b ∴在Rt△MEN中，tan∠ENM＝

MP⊥OC于点P，NQ⊥OC②如图2，过点M作MF⊥BD于点F，过点N作NG⊥BD于点G，于点Q，设OC与MN交点为H ∵点O为矩形中心，BD＝10 ∴OB＝OD＝OC＝BD＝5 NG＝b，由①可得，设MF＝a，则BF＝

DG＝＝a，

OF?OG＝NG?MF ＝b，

＝

∴OF＝OB﹣BF＝5﹣a，OG＝OD﹣DG＝5﹣b ∴（5﹣a）（5﹣b）＝ab 整理得：16a＝60﹣9b ∴设CN＝5x

∵∠NCQ＝∠BDC，∠NQC＝∠BCD＝90°∴△NCQ∽△BDC ∴∴CQ＝

＝

CN＝3x，NQ＝

CN＝4x ＝

∴OQ＝OC﹣CQ＝5﹣3x

∵∠MPO＝∠MON＝∠OQN＝90° ∴∠MOP+∠NOQ＝∠NOQ+∠ONQ＝90°∴∠MOP＝∠ONQ

25

∴△MOP∽△ONQ ∴

i）若S△OMH＝2S△ONH，且两三角形都以OH为底 ∴MP＝2NQ＝8x ∴解得：x＝∴CN＝

ii）若2S△OMH＝S△ONH，则MP＝NQ＝2x ∴解得：x＝∴CN＝

或

．

综上所述，CN的长为

11．BE⊥AD，如图，菱形ABCD中，且BE＝垂足为F．

CE，，∠ABE＝30°，连接BD、作DF⊥CE，

（1）判断△BCD的形状（直接写出即可）； （2）求DF的长度．

（3）若动点P，Q同时从点B出发，在△ABD边上运动，P沿B→A→D路径匀速运动，Q沿B→D+A路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点P的运动速度为2单位/秒，点Q的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y，求当x为何值时，

26

y取得最大值？最大值为多少？

解：（1）∵BE⊥AD， ∴∠BEA＝90°， ∵∠ABE＝30°， ∴∠A＝60°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝60°， ∴△BCD是等边三角形； （2）在Rt△ABE中， ∵BE＝，∠A＝60°，

∴AB＝

＝

＝4，

∵∠ABE＝30°， ∴AE＝AB＝×4＝2， ∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵BE⊥AD， ∴DE＝AE＝2，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，

∴S△CED＝DE?BE＝×2×2＝2，

∵AD∥BC，BE⊥AD， ∴BC⊥BE， 在Rt△BCE中，CE＝

＝＝2，27

∵DF⊥CE， ∴S△CED＝DF?EC＝∴

DF＝2

， ；

DF，

∴DF＝

（3）∵AB＝AD＝4，点P的运动速度为2单位/秒，点Q的运动速度为1单位/秒， ∴P到达A点时为2s，到达D得时为4s，则Q在BQ上；P到达D时，Q也到达D； ①当0＜x≤2时，P在BA上运动，Q在BD上运动，过点Q作QG⊥AB于G，如图1所示：

则QG＝BQ?sin60°＝

x， x＝

x2，

；

2x×∴y＝BP?QG＝×

∴x＝2时，y有最大值，最大值为2

②2≤x＜4时，P在AD上运动，Q在BD上运动，过点P作PH⊥BD于H，如图2所示：∵DP＝8﹣2x， ∴PH＝DP?sin60°＝∴y＝PH?BQ＝（4

2+2

（8﹣2x）＝4﹣

x）x＝﹣

﹣x， x2+2

x＝﹣

（x2﹣4x）＝﹣

（x﹣2）

，

；

．

∴当x＝2时，y取最大值，最大值为2

综上所述，当x＝2时，y有最大值，最大值为2

12．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交于y轴于点H．

28