在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形： ①如图③﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，

则∠Q＝∠DPQ，

∴∠2＝∠Q+∠DPQ＝2∠Q， ∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠Q， ∴A′Q＝A′B＝3， ∴F′Q＝F′A′+A′Q＝

+3＝

．

＝

＝

．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝∴DQ＝BQ﹣BD＝

﹣5；

②如图③﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，

则∠2＝∠P， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠P， ∴BA′∥PD，

则此时点A′落在BC边上． ∵∠3＝∠2， ∴∠3＝∠1， ∴BQ＝A′Q，

13

∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2， 即：（）2+（解得：BQ＝

，

＝

；

﹣BQ）2＝BQ2，

∴DQ＝BD﹣BQ＝5﹣

③如图③﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，

则∠3＝∠4．

∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，∴∠4＝90°﹣∠2． ∵∠1＝∠2， ∴∠4＝90°﹣∠1．

∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，

∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1， ∴∠A′QB＝∠A′BQ， ∴A′Q＝A′B＝3， ∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝3﹣

＝．

＝

＝

，

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝∴DQ＝BD﹣BQ＝5﹣

；

④如图④﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，

14

则∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ＝BA′＝3，

∴DQ＝BD﹣BQ＝5﹣3＝2．

综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；DQ的长度分别为2或

或

或

．

7．如图，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝5，过点A作AC⊥BD，垂足为C，且AC＝4，E是线段CD上一点，过E作EF⊥AD，垂足为F﹒ （1）请直接写出AD的长为

；

（2）如图1，若点F在∠ABD的角平分线上，求DF的长； （3）如图2，连接CF，点G为点A关于CF的对称点．

①连结DG，CG，当四边形CGDF中有两边互相平行时，求CE的长； ②连结AG交BD于点H，点H在点E的上方，若∠BAC﹣∠EAH＝30°，则

＝

．

解：（1）∵AC⊥BD，

15

∴∠ACB＝90°， ∵AB＝5，AC＝4， ∴BC＝

＝

＝3，

∵∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠BAD＝90°， ∴△BAC∽△BDA， ∴＝＝

，

∴

＝

＝， ∴BD＝，AD＝．

故答案为．

（2）如图1中，作FH⊥BD于H．

∵∠FAB＝∠FHB＝90°，∠FBA＝∠FBH，BF＝BF， ∴△FBA≌△FBH（AAS）， ∴AF＝FH，BA＝BH＝5， ∵BD＝， ∴DH＝

﹣5＝

，设AF＝FH＝x，则DF＝

﹣x，在Rt△DFH中，∵DF2＝DH2+FH2， ∴（

﹣x）2＝（

）2+x2，

∴x＝， ∴DF＝

﹣＝

．

16