2020年九年级数学中考三轮冲刺复习:《四边形综合训练》(含解析) 下载本文

又∵∠AFH=∠DFG, ∴△AFH∽△DFG, ∴

又∵∠AFD=∠HFG, ∴△ADF∽△HGF, ∴∠ADF=∠FGH, ∵∠ADF=90°, ∴∠FGH=90°, ∴AG⊥GH.

5.已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,将∠MBN绕点B旋转,它的两边分别交边AD、DC(或它们的延长线)于点E、F. (1)当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时(如图1), ①求证:△ABE≌△CBF; ②求证:AE+CF=EF;

(2)当∠MBN绕点B旋转到如图2所示的位置时,AE≠CF,此时,(1)中的两个结论是否还成立?请直接回答.

(1)①证明;∵AB⊥AD,BC⊥CD, ∴∠A=∠BCF=90°, 在△ABE和△CBF中,∴△ABE≌△CBF(SAS);

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②证明:∵△ABE≌△CBF, ∴BE=BF,∠ABE=∠CBF, ∵∠MBN=60°,

∴△BEF是等边三角形.∠ABE=∠CBF=(∠ABC﹣∠MBN)=(120°﹣60°)=30°.

∴BE=BF=EF,AE=BE,CF=BF, ∴AE+CF=BE+BF=EF;

(2)解:①△ABE≌△CBF不成立;②AE+CF=EF成立,理由如下: ∵AE≠CF,

∴△ABE≌△CBF不成立

延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,如图2所示: 在△BAE与△BCK中,,

∴△BAE≌△BCK(SAS), ∴BE=BK,∠ABE=∠CBK, ∵∠FBE=60°,∠ABC=120°, ∴∠FBC+∠ABE=60°, ∴∠FBC+∠CBK=60°, ∴∠KBF=∠FBE=60°, 在△KBF与△EBF中,,

∴△KBF≌△EBF(SAS), ∴KF=EF,

∴AE+CF=KC+CF=KF=EF.

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6.已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.

(1)求AF和BE的长;

(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方 向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值.(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=90°,

在Rt△ABD中,AB=3,AD=4, 由勾股定理得:BD=

∵S△ABD=BD?AE=AB?AD, ∴AE=

=5,

∵点F是点E关于AB的对称点, ∴AF=AE=∵AE⊥BD,

,BF=BE,

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∴∠AEB=90°,

在Rt△ABE中,AB=3,AE=, 由勾股定理得:BE=

=.

(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如图①﹣1所示:

由对称点性质可知,∠1=∠2.BF=BE=,

由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=. ①当点F′落在AB上时, ∵AB∥A′B′, ∴∠3=∠4, ∴∠3=∠2,

∴BB′=B′F′=,即m=; ②当点F′落在AD上时, ∵AB∥A′B′, ∴∠6=∠2,

∵∠1=∠2,∠5=∠1, ∴∠5=∠6, 又易知A′B′⊥AD, ∴△B′F′D为等腰三角形, ∴B′D=B′F′=, ∴BB′=BD﹣B′D=5﹣=,即m=.

(3)存在.理由如下:

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