即CN2+CM2＝DM2+BN2 ．

18．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，边OA落在y轴的正半轴上，点E从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿着射线AB 的方向运动，点A关于OE的对称点为点F．运动时间为t秒，连接OF、EF、BF、CF．（1）如图1、当∠AOE＝30°时，求∠CFB的度数； （2）如图2，当t＝1时，求证：BF⊥CF．

（3）如图3，过点F作FG⊥CF，且FG＝CF，连接AG．M为AG的中点，连接CM．则当t＝ （3+3

）s 时，CM有最小值，CM的最小值为 3﹣

．

解：（1）如图1中，连接AF．

由翻折想性质可知：∠AOE＝∠EOF＝30°，OA＝OF， ∴∠AOF＝60°， ∴△AOF是等边三角形， ∴AF＝FO，∠OAF＝60°，

41

∵四边形OABC是正方形，

∴AB＝OC，∠OAB＝∠AOC＝∠ABC＝∠OCB＝90°， ∴∠BAF＝∠COF＝30°， ∵AB＝AF＝OF＝OC，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠OCF＝∠OFC＝75°， ∴∠FCB＝∠FBC＝15°， ∠CFB＝180°﹣15°﹣15°＝150°．

（2）如图2中，作FM⊥AB于M，交OC于N．设FM＝x，EM＝y．

∵∠OAM＝∠AMN＝∠AON＝90°， ∴四边形AMNO是矩形，

∴MN＝AO＝3，AM＝ON＝1+y，FN＝3﹣x， 在Rt△EFM和Rt△OFM中，则有

，

解得，

∴BM＝CN＝3﹣1﹣＝， ∴BF＝＝，CF＝＝，

∴CF2+BF2＝

+

＝9＝BC2，

42

∴∠CFB＝90°， ∴CF⊥BF．

（3）如图3中，AO的延长线上截取OK＝OC，连接KC，KG，OM．

∵OC＝OF＝OK，∠COK＝90°， ∴∠CFK＝135°， ∵CF⊥FG， ∴∠CFG＝90°，

∴∠KFG＝360°﹣135°﹣90°＝135°， ∴∠KFC＝∠KFG， ∵KF＝KF，FC＝FG， ∴△KFC≌△KFG（SAS）， ∴KC＝KG＝3

，

∵OA＝OC＝OK，AM＝MG， ∴OM＝KG＝

，

∴点M的运动轨迹是以O为圆心，OM长为半径的圆弧， ∴当点M落在线段OC上时，CM定值最小，最小值＝3﹣，

此时易证：∠AOE＝∠EOF＝67.5°，可得BE＝OB＝3，

∴AE＝3+3， ∴t＝（3+3

）s．

43

故答案为：3+3，3﹣．

19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB﹣BC以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，连结PB，以线段PB为对角线作正方形PDBE，设点P的运动时间为t（s），正方形PDBE的面积为S（cm2）． （1）当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值；

（2）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；

（3）在整个运动过程中，正方形PDBE至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．

解：（1）当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时， 设正方形的边长为x，如图1所示： ∵PE∥AB， ∴

＝

， ， ， ，

＝

，

＝

，

即：＝解得：x＝∴PE＝

∴EC＝BC﹣BE＝4﹣∴PC＝

＝

∴t＝＝s；

（2）①当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H，如图2所示： 则PH∥AB，

44