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习题三十 高阶线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程
一、单项选择题：
1、下列函数组中，为线性相关的是（ ）。 A：e,e2x?2x2x?2； B：x?2,x?2； C：x,x； D：e,ex?2。
2、已知齐次方程xy???y??0有一特解为lnx，则该方程的通解为（ ）。 A：y?c1lnx?c2； B：y?c1lnx?c2x； C：y?c(lnx?1)； D：y?c(lnx?x)。
3、设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解，又f(x0)?0,f?(x0)?0，则函数f(x)在点x0（ ）。
A：取得极大值； B：取的极小值；
C：的某个邻域单调增加； D：的某个邻域单调减少。
二、验证：y?c1x2?c2x2lnx(c1,c2是任意常数)是方程xy???3xy??4y?0的通解。
三、设线性无关函数y1(x)、y2(x)、y3(x)都是线性方程
2y???p(x)y??q(x)y?f(x)，
的解，证明：1、y1?y3与y2?y3线性无关；
2、y?c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3为该方程的通解。
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四、已知e和e是某二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，求该方程。
五、设二阶线性非齐次微分方程的三个解为y1?x,y2?x?sinx,y3?x?cosx, 求该方程的通解。
六、求下列方程的通解：
?2x2xd2xdx?25x?0； 1、42?20dtdt
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2、y???6y??13y?0；
(4)3、y?2y???y?0。
七、求下列方程的特解： 1、y???4y??3y?0,
2、y???25y?0,
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yx?0?6,y?x?0?10；
yx?0?2,y?x?0?5。
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八、求以y1?te，y2?sin2t为两个特解的四阶常系数线性齐次常微分方程，并求其通解。
九、设函数y?y(x)在(??,??)上具有二阶导数，且y?(x)?0，x?x(y)是
ty?y(x)的反函数。
d2xdx3?y()?0变换为y?y(x)满（1）试将x?x(y)满足的微分方程
dydy2足的微分方程。
（2）求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?1的特解。
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