第二章 质量衡算与能量衡算
2.1 某室内空气中O3的浓度是0.08×10-6（体积分数），求：
（1）在1.013×105Pa、25℃下，用μg/m3表示该浓度；
（2）在大气压力为0.83×105Pa和15℃下，O3的物质的量浓度为多少？ 解：理想气体的体积分数与摩尔分数值相等 由题，在所给条件下，1mol空气混合物的体积为
V1＝V0·P0T1/ P1T0 ＝22.4L×298K/273K ＝24.45L
所以O3浓度可以表示为
0.08×10－6mol×48g/mol×（24.45L）－1＝157.05μg/m3
（2）由题，在所给条件下，1mol空气的体积为
V1＝V0·P0T1/ P1T0
=22.4L×1.013×105Pa×288K/(0.83×105Pa×273K） ＝28.82L
所以O3的物质的量浓度为
0.08×10－6mol/28.82L＝2.78×10－9mol/L
2.2 假设在25℃和1.013×105Pa的条件下，SO2的平均测量浓度为400μg/m3，若允许值为0.14×10-6，问是否符合要求？
解：由题，在所给条件下，将测量的SO2质量浓度换算成体积分数，即
RT?1038.314?298?103?9?6?A??400?10?0.15?10 5pMA1.013?10?64大于允许浓度，故不符合要求
2.3 试将下列物理量换算为SI制单位： 质量：1.5kgf·s2/m= kg 密度：13.6g/cm3= kg/ m3
1
压力：35kgf/cm2= Pa 4.7atm= Pa 670mmHg= Pa
功率：10马力＝ kW 比热容：2Btu/(lb·℉)= J/（kg·K） 3kcal/（kg·℃）= J/（kg·K）
流量：2.5L/s= m3/h 表面张力：70dyn/cm= N/m 5 kgf/m= N/m
解：
质量：1.5kgf·s2/m=14.709975kg 密度：13.6g/cm3=13.6×103kg/ m3 压力：35kg/cm2=3.43245×106Pa 4.7atm=4.762275×105Pa 670mmHg=8.93244×104Pa
功率：10马力＝7.4569kW
比热容：2Btu/(lb·℉)= 8.3736×103J/（kg·K） 3kcal/（kg·℃）=1.25604×104J/（kg·K）
流量：2.5L/s=9m3/h
表面张力：70dyn/cm=0.07N/m 5 kgf/m=49.03325N/m
2.4 密度有时可以表示成温度的线性函数，如
ρ＝ρ0+At
式中：ρ——温度为t时的密度， lb/ft3；
ρ0——温度为t0时的密度， lb/ft3。 t——温度，℉。
如果此方程在因次上是一致的，在国际单位制中A的单位必须是什么？ 解：由题易得，A的单位为kg/（m3·K）
2
2.5 一加热炉用空气（含O2 0.21, N2 0.79）燃烧天然气（不含O2与N2）。分析燃烧所得烟道气，其组成的摩尔分数为CO2 0.07，H2O 0.14，O2 0.056，N2 0.734。求每通入100m3、30℃的空气能产生多少m3烟道气？烟道气温度为300℃，炉内为常压。
解：假设燃烧过程为稳态。烟道气中的成分来自天然气和空气。取加热炉为衡算系统。以N2为衡算对象，烟道气中的N2全部来自空气。设产生烟道气体积为V2。根据质量衡算方程，有
0.79×P1V1/RT1＝0.734×P2V2/RT2
即
0.79×100m3/303K＝0.734×V2/573K
V2＝203.54m3
2.6某一段河流上游流量为36000m3/d，河水中污染物的浓度为3.0mg/L。有一支流流量为10000 m3/d，其中污染物浓度为30mg/L。假设完全混合。
（1）求下游的污染物浓度
（2）求每天有多少kg污染物质通过下游某一监测点。 解：（1）根据质量衡算方程，下游污染物浓度为
?m??1qV1??2qV2qV1?qV2?3.0?36000?30?10000mg/L?8.87mg/L
36000?10000（2）每天通过下游测量点的污染物的质量为
?m?(qV1?qV2)?8.87?(36000?10000)?10?3kg/d?408.02kg/d
2.7某一湖泊的容积为10×106m3，上游有一未被污染的河流流入该湖泊，流量为50m3/s。一工厂以5 m3/s的流量向湖泊排放污水，其中含有可降解污染物，浓度为100mg/L。污染物降解反应速率常数为0.25d－1。假设污染物在湖中充分混合。求稳态时湖中污染物的浓度。
解：设稳态时湖中污染物浓度为?m，则输出的浓度也为?m 则由质量衡算，得
3
qm1?qm2?k?V?0
即
5×100mg/L－（5＋50）?mm3/s －10×106×0.25×?mm3/s＝0
解之得
?m＝5.96mg/L
2.8某河流的流量为3.0m3/s，有一条流量为0.05m3/s的小溪汇入该河流。为研究河水与小溪水的混合状况，在溪水中加入示踪剂。假设仪器检测示踪剂的浓度下限为1.0mg/L。为了使河水和溪水完全混合后的示踪剂可以检出，溪水中示踪剂的最低浓度是多少？需加入示踪剂的质量流量是多少？假设原河水和小溪中不含示踪剂。
解：设溪水中示踪剂的最低浓度为ρ 则根据质量衡算方程，有
0.05ρ＝（3＋0.05）×1.0
解之得
ρ＝61 mg/L
加入示踪剂的质量流量为
61×0.05g/s＝3.05g/s
2.9假设某一城市上方的空气为一长宽均为100 km、高为1.0 km的空箱模型。干净的空气以4 m/s的流速从一边流入。假设某种空气污染物以10.0 kg/s的总排放速率进入空箱，其降解反应速率常数为0.20h－1。假设完全混合， （1）求稳态情况下的污染物浓度；
（2）假设风速突然降低为1m/s，估计2h以后污染物的浓度。 解：（1）设稳态下污染物的浓度为ρ 则由质量衡算得
10.0kg/s－（0.20/3600）×ρ×100×100×1×109 m3/s －4×100×1×106ρm3/s＝0 解之得
4
ρ＝1.05× 10-2mg/m3
（2）设空箱的长宽均为L，高度为h，质量流量为qm，风速为u。 根据质量衡算方程
qm1?qm2?k?V?dm dt有
qm?uLh??k?L2h?d2Lh?? ?dt带入已知量，分离变量并积分，得
?积分有
36000dt??d?
1.05?10?210-6?6.6?10-5??ρ＝1.15×10-2mg/m3
2.10 某水池内有1 m3含总氮20 mg/L的污水，现用地表水进行置换，地表水进入水池的流量为10 m3/min，总氮含量为2 mg/L，同时从水池中排出相同的水量。假设水池内混合良好，生物降解过程可以忽略，求水池中总氮含量变为5 mg/L时，需要多少时间？
解：设地表水中总氮浓度为ρ0，池中总氮浓度为ρ 由质量衡算，得
qV?0?qV??d?V?? dt即
dt?1d?
10?(2??)积分，有
?求得
t0dt??1d?
2010?(2??)5t＝0.18 min
5
2.11有一装满水的储槽，直径1m、高3m。现由槽底部的小孔向外排水。小孔的直径为4cm，测得水流过小孔时的流速u0与槽内水面高度z的关系
u0＝0.62（2gz）0.5
试求放出1m3水所需的时间。
解：设储槽横截面积为A1，小孔的面积为A2 由题得
A2u0＝－dV/dt，即u0＝－dz/dt×A1/A2
所以有
－dz/dt×（100/4）2＝0.62（2gz）0.5
即有
－226.55×z-0.5dz＝dt
z0＝3m
z1＝z0－1m3×（π×0.25m2）-1＝1.73m
积分计算得
t＝189.8s
2.12 给水处理中，需要将固体硫酸铝配成一定浓度的溶液作为混凝剂。在一配料用的搅拌槽中，水和固体硫酸铝分别以150kg/h和30kg/h的流量加入搅拌槽中，制成溶液后，以120kg/h的流率流出容器。由于搅拌充分，槽内浓度各处均匀。开始时槽内预先已盛有100kg纯水。试计算1h后由槽中流出的溶液浓度。
解：设t时槽中的浓度为ρ，dt时间内的浓度变化为dρ 由质量衡算方程，可得
30?120??d??100?60t???? dt?时间也是变量，一下积分过程是否有误？
30×dt＝（100＋60t）dC＋120Cdt
即
（30－120C）dt＝（100＋60t）dC
由题有初始条件
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t＝0，C＝0
积分计算得： 当t＝1h时
C＝15.23％
2.13 有一个4×3m2的太阳能取暖器，太阳光的强度为3000kJ/（m2·h），有50％的太阳能被吸收用来加热流过取暖器的水流。水的流量为0.8L/min。求流过取暖器的水升高的温度。
解：以取暖器为衡算系统，衡算基准取为1h。 输入取暖器的热量为
3000×12×50％ kJ/h＝18000 kJ/h
设取暖器的水升高的温度为（△T），水流热量变化率为qmcp?T 根据热量衡算方程，有
18000 kJ/h ＝0.8×60×1×4.183×△TkJ/h.K
解之得
△T＝89.65K
2.14 有一个总功率为1000MW的核反应堆，其中2/3的能量被冷却水带走，不考虑其他能量损失。冷却水来自于当地的一条河流，河水的流量为100m3/s，水温为20℃。
（1）如果水温只允许上升10℃，冷却水需要多大的流量； （2）如果加热后的水返回河中，问河水的水温会上升多少℃。 解：输入给冷却水的热量为
Q＝1000×2/3MW＝667 MW
（1）以冷却水为衡算对象，设冷却水的流量为qV，热量变化率为qmcp?T。 根据热量衡算定律，有
qV×103×4.183×10 kJ/m3＝667×103KW
Q＝15.94m3/s
7
（2）由题，根据热量衡算方程，得
100×103×4.183×△T kJ/m3＝667×103KW
△T＝1.59K
8
第三章 流体流动
3.1 如图3-1所示，直径为10cm的圆盘由轴带动在一平台上旋转，圆盘与平台间充有厚度δ=1.5mm的油膜。当圆盘以n=50r/min旋转时，测得扭矩M=2.94×10N·m。设油膜内速度沿垂直方向为线性分布，试确定油的黏度。
-4
图3-1 习题3.1图示
解：在半径方向上取dr，则有
dM＝dF·r
由题有
dF＝τ·dA
?=??du dydA=?(r?dr)2??r2?2?r?dr
du2?nr =dy?所以有
dM=?dun2?r?dr?r??4?2r3dr dy?两边积分计算得
M=??2n?r4
代入数据得
2.94×10－4N·m＝μ×（0.05m）4×π2 ×（50/60）s /（1.5×10－3m）
可得
9
μ＝8.58×10－3Pa·s
3.2 常压、20℃的空气稳定流过平板壁面，在边界层厚度为1.8mm处的雷诺数为6.7×104。求空气的外流速度。
解：设边界层厚度为δ；空气密度为ρ，空气流速为u。 由题，因为湍流的临界雷诺数一般取5×105＞6.7×104， 所以此流动为层流。对于层流层有
?=同时又有
4.641x 0.5RexRex=?xu ?两式合并有
4.641?Re0.5=??u ?即有
4.641×（6.7×104）0.5＝u×1×103kg/m3×1.8mm /（1.81×10－5Pa·s）
u＝0.012m/s
3.3 污水处理厂中，将污水从调节池提升至沉淀池。两池水面差最大为10m，管路摩擦损失为4J/kg，流量为34 m3/h。求提升水所需要的功率。设水的温度为25℃。
解：设所需得功率为Ne，污水密度为ρ
Ne＝Weqvρ＝（gΔz＋∑hf）qvρ
=(9.81m/s2×10m+4J/kg)×1×103kg/m3×34/3600m3/s = 964.3W
3.4 如图所示，有一水平通风管道，某处直径由400mm减缩至200mm。为了粗略估计管道中的空气流量，在锥形接头两端各装一个U管压差计，现测得粗管端的表压为100mm水柱，细管端的表压为40mm水柱，空气流过锥形管的
10
能量损失可以忽略，管道中空气的密度为1.2kg/m3，试求管道中的空气流量。
图3-2 习题3.4图示
解：在截面1-1′和2-2′之间列伯努利方程：
u12/2＋p1/ρ＝u22/2＋p2/ρ
由题有
u2＝4u1
所以有
u12/2＋p1/ρ＝16u12/2＋p2/ρ
即
15 u12＝2×(p1- p2)/ρ
=2×(ρ0-ρ)g(R1-R2)/ρ
=2×（1000-1.2）kg/m3×9.81m/s2×（0.1m－0.04m）
/（1.2kg/m3）
解之得
u1＝8.09m/s
所以有
u2＝32.35m/s
qv＝u1A＝8.09m/s×π×（200mm）2＝1.02m3/s
3.5 如图3-3所示，有一直径为1m的高位水槽，其水面高于地面8m，水从内径为100mm的管道中流出，管路出口高于地面2m，水流经系统的能量损失（不包括出口的能量损失）可按?hf?6.5u2计算，式中u为水在管内的流速，单位为m/s。试计算
11
（1）若水槽中水位不变，试计算水的流量；
（2）若高位水槽供水中断，随水的出流高位槽液面下降，试计算液面下降1m所需的时间。
图3-3 习题3.5图示
解：（1）以地面为基准，在截面1-1′和2-2′之间列伯努利方程，有
u12/2＋p1/ρ＋gz1＝u22/2＋p2/ρ＋gz2＋Σhf
由题意得 p1＝p2，且u1＝0 所以有
9.81m/s2×（8m－2m）＝u2/2＋6.5u2
解之得
u＝2.90m/s
qv＝uA＝2.90m/s×π×0.01m2/4＝2.28×10－2m3/s
（2）由伯努利方程，有
u12/2＋gz1＝u22/2＋gz2＋Σhf
即
u12/2＋gz1＝7u22＋gz2
由题可得
u1/u2＝（0.1/1）2＝0.01
取微元时间dt，以向下为正方向 则有u1＝dz/dt 所以有
12
（dz/dt）2/2＋gz1＝7（100dz/dt）2/2＋gz2
积分解之得
t＝36.06s
3.6 水在圆形直管中呈层流流动。若流量不变，说明在下列情况下，因流动阻力而产生的能量损失的变化情况：
（1）管长增加一倍；（2）管径增加一倍。 解：因为对于圆管层流流动的摩擦阻力，有
?pf?8?uml32?uml? 22r0d（1）当管长增加一倍时，流量不变，则阻力损失引起的压降增加1倍 （2）当管径增加一倍时，流量不变，则
um,2＝um,1/4 d2=2d1
?pf,2=?pf,1/16
即压降变为原来的十六分之一。
3.7 水在20℃下层流流过内径为13mm、长为3m的管道。若流经该管段的压降为21N/m2。求距管中心5mm处的流速为多少？又当管中心速度为0.1m/s时，压降为多少？
解：设水的黏度μ=1.0×10-3Pa.s，管道中水流平均流速为um 根据平均流速的定义得：
?r04dpfqv1dpf28?dlum=????r0
A?r028?dl所以
?pf??8?uml 2r0代入数值得
21N/m2＝8×1.0×10-3Pa·s×um×3m/（13mm/2）2
13
解之得
um＝3.7×10－2m/s
又有
umax＝2 um
所以
u＝2um[1－（r/r0）2]
（1）当r＝5mm，且r0＝6.5mm，代入上式得
u＝0.03m/s
（2）umax＝2 um
Δpf’＝ umax’/ umax·Δpf ＝0.1/0.074×21N/m
＝28.38N/m
3.8 温度为20℃的水，以2kg/h的质量流量流过内径为10mm的水平圆管，试求算流动充分发展以后：
（1）流体在管截面中心处的流速和剪应力； （2）流体在壁面距中心一半距离处的流速和剪应力 （3）壁面处的剪应力 解：（1）由题有
um＝qm/ρA
＝2/3600kg/s/（1×103kg/m3×π×0.012m2/4） ＝7.07×10－3m/s
Re?4?umd＝282.8＜2000 ?管内流动为层流，故
管截面中心处的流速
umax＝2 um＝1.415×10－2m/s
管截面中心处的剪应力为0
（2）流体在壁面距中心一半距离处的流速：
14
u＝umax（1－r2/r02） u1/2＝1.415×10－2m/s×3/4 ＝1.06×10－2m/s
由剪应力的定义得
du?umr ?42drr0????流体在壁面距中心一半距离处的剪应力：
τ1/2＝2μum/r0 ＝2.83×103N/m2
－
（3）壁面处的剪应力：
τ0＝2τ1/2＝5.66×10－3N/m2
3.9 一锅炉通过内径为3.5m的烟囱排除烟气，排放量为3.5×105m3/h，在烟气平均温度为260℃时，其平均密度为0.6 kg/m3，平均粘度为2.8×10－4Pa·s。大气温度为20℃，在烟囱高度范围内平均密度为1.15 kg/m3。为克服煤灰阻力，烟囱底部压力较地面大气压低245 Pa。问此烟囱需要多高？假设粗糙度为5mm。
解：设烟囱的高度为h，由题可得
u＝qv/A＝10.11m/s Re＝duρ/μ＝7.58×104
相对粗糙度为
ε/d＝5mm/3.5m＝1.429×10－3
查表得
λ＝0.028
所以摩擦阻力
hu2?hf??d2
建立伯努利方程有
u12/2＋p1/ρ＋gz1＝u22/2＋p2/ρ＋gz2＋Σhf
由题有
u1＝u2，p1＝p0－245Pa，p2＝p0－ρ空gh
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即
（h×1.15 kg/m3×9.8m/s2－245Pa）/（0.6kg/m3）＝h×9.8m/s2＋h×0.028/3.5m×
（10.11m/s）2/2 解之得
h＝47.64m
3.10用泵将水从一蓄水池送至水塔中，如图3-4所示。水塔和大气相通，池和塔的水面高差为60m，并维持不变。水泵吸水口低于水池水面2.5m，进塔的管道低于塔内水面1.8m。泵的进水管DN150，长60m，连有两个90°弯头和一个吸滤底阀。泵出水管为两段管段串联，两段分别为DN150、长23m和DN100、长100 m，不同管径的管道经大小头相联，DN100的管道上有3个90°弯头和一个闸阀。泵和电机的总效率为60％。要求水的流量为140 m3/h，如果当地电费为0.46元/（kW·h），问每天泵需要消耗多少电费？（水温为25℃，管道视为光滑管）
图3-4 习题3.10图示
解：由题，在进水口和出水口之间建立伯努利方程，有
We＝gh＋Σhf
25℃时，水的密度为997.0kg/m3，粘度为0.9×10－3Pa·s 管径为100mm时，
u＝4.95m/s
Re＝duρ/μ＝5.48×105，为湍流
为光滑管，查图，λ＝0.02
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管径为150mm时
u＝2.20m/s Re＝duρ/μ＝3.66×105
管道为光滑管，查图，λ＝0.022 泵的进水口段的管件阻力系数分别为
吸滤底阀ζ＝1.5；90°弯头ζ＝0.75；管入口ζ＝0. 5
Σhf1＝（1.5＋0.75×2＋0.5＋0.022×60/0.15）×（2.20m/s）2/2
＝29.76m2/s2
泵的出水口段的管件阻力系数分别为
大小头ζ＝0.3；90°弯头ζ＝0.75；闸阀ζ＝0.17；管出口ζ＝1
Σhf2＝(1＋0.75×3＋0.3＋0.17＋0.02×100/0.1)×(4.95m/s)2/2＋
(0.023×23/0.15)×(2.20m/s)2/2
＝299.13m2/s2
We＝gh＋Σhf =29.76m2/s2＋299.13m2/s2＋60m×9.81m/s2＝917.49 m2/s2＝
917.49J/kg
WN＝（917.49J/kg/60％）×140m3/h×997.0kg/m3＝5.93×104W
总消耗电费为
59.3kW×0.46元/（kW·h）×24h/d＝654.55元/d
3.11 如图3-5所示，某厂计划建一水塔，将20℃水分别送至第一、第二车间的吸收塔中。第一车间的吸收塔为常压，第二车间的吸收塔内压力为20kPa（表压）。总管内径为50mm钢管，管长为（30＋z0），通向两吸收塔的支管内径均为20mm，管长分别为28m和15m（以上各管长均已包括所有局部阻力当量长度在内）。喷嘴的阻力损失可以忽略。钢管的绝对粗糙度为0.2mm。现要求向第一车间的吸收塔供应1800kg/h的水，向第二车间的吸收塔供应2400kg/h的水，试确定水塔需距离地面至少多高？已知20℃水的粘度为1.0×10－3 Pa·s，摩擦系数可由
?式??0.1??58????dRe?0.23计算。
17
图3-5 习题3.11图示
解：总管路的流速为
u0＝qm0/（ρπr2）
＝4200 kg/h/（1×103kg/m3×π×0.0252m2） ＝0.594m/s
第一车间的管路流速为
u1＝qm1/（ρπr2）
＝1800kg/h/（1×103kg/m3×π×0.012m2） ＝1.592m/s
第二车间的管路流速为
u2＝qm2/（ρπr2）
＝2400 kg/h/（1×103kg/m3×π×0.012m2） ＝2.122m/s
则
Re0＝duρ/μ＝29700
λ0＝0.1（ε/d＋58/Re）0.23＝0.0308 Re1＝duρ/μ＝31840
λ1＝0.1（ε/d＋58/Re）0.23＝0.036 Re2＝duρ/μ＝42400
λ2＝0.1（ε/d＋58/Re）0.23＝0.0357
以车间一为控制单元，有伯努利方程
18
u12/2＋gz1＋p1/ρ＋Σhf1＝gz0＋p0/ρ
p1= p0，故
（1.592m/s）2/2＋9.8m/s2×3m＋0.0308×（0.594m/s）2×（30＋z0）m/（2×0.05m）＋0.036×（1.592m/s）2×28m/（2×0.02m）＝9.8m/s2×z0 解之得
z0＝10.09m
以车间二为控制单元，有伯努利方程
u22/2＋gz2＋p2/ρ＋Σhf2＝gz0＋p0/ρ
（2.122m/s）2/2＋9.8m/s2×5m＋20kPa/（1×103kg/m3）＋0.0308×（0.594m/s）2×（30＋z0）m/（2×0.05m）＋0.0357×（2.122m/s）2×15m/（2×0.02m）＝9.8m/s2×z0 解之得
z0＝13.91m
故水塔需距离地面13.91m
3.12 如图3-6所示，从城市给水管网中引一支管，并在端点B处分成两路分别向一楼和二楼供水（20℃）。已知管网压力为0.8×105Pa（表压），支管管径均为32mm，摩擦系数λ均为0.03，阀门全开时的阻力系数为6.4，管段AB、BC、BD的长度各为20m、8m和13m（包括除阀门和管出口损失以外的所有局部损失的当量长度），假设总管压力恒定。试求
（1）当一楼阀门全开时，二楼是否有水？
（2）如果要求二楼管出口流量为0.2L/s，求增压水泵的扬程。
图3-6 习题3.12图示
解：（1）假设二楼有水，并设流速为u2，此时一楼的流速为u1 以AC所在平面为基准面，在A、C断面之间建立伯努利方程，有
19
uA2/2＋pA/ρ＝u12/2＋p1/ρ＋gz2＋ΣhfAC
因为 uA＝u1＝0；p1＝0 则有
pA/ρ＝ΣhfAC （1） 在A、D断面之间建立伯努利方程，即
uA2/2＋pA/ρ＝u22/2＋p2/ρ＋gz2＋ΣhfAD
uA＝u2＝0；p2＝0；z2＝3m
pA/ρ＝ΣhfAD＋gz2 （2） 联立两式得
ΣhfBC＝ΣhfBD＋gz2 （3） （0.03×8m/0.032m＋6.4＋1）×u12/2＝（0.03×13m/0.032m＋6.4＋1）×u22/2＋
3m×9.8m/s2
所以有
u1min2/2＝1.97m2/s2
Σhfmin＝（0.03×28m/0.032m＋6.4＋1）×u1min2/2＝67.28 m2/s2＜pA/ρ 所以二楼有水。
（2）当二楼出口流量为0.2L/s时，u2＝0.249m/s 代入（3）式
（0.03×8m/0.032m＋6.4＋1）×u12/2＝（0.03×13m/0.032m＋6.4＋1）×u22/2＋3m×9.8m/s2 可得
u1＝2.02m/s
此时AB段流速为 u0＝2.259m/s
2
ΣhfAC＝0.03×20m/0.032m×（2.259m/s）/2＋（0.03×8m/0.032m＋6.4＋1）×（2.02m/s）
2
/2
＝48.266 m2/s2＋30.399 m2/s2
＝78.665 m2/s2
pA/ρ＝0.8×105Pa/（998.2kg/m3）＝80.144 m2/s2 因为ΣhfAC< pA/ρ
20
所以不需要增压水泵。
3.13 某管路中有一段并联管路，如图3-7所示。已知总管流量为120L/s。支管A的管径为200mm，长度为1000m；支管B分为两段，MO段管径为300mm，长度为900m，ON段管径为250mm，长度为300m，各管路粗糙度均为0.4mm。试求各支管流量及M、N之间的阻力损失。
图3-7 习题3.13图示
解：由题，各支管粗糙度相同，且管径相近，可近似认为各支管的λ相等，取λ＝0.02。
将支管A、MO、ON段分别用下标1、2、3表示 对于并联管路，满足hfA＝hfB，所以有
22l1u12l2u2l3u3????? d12d22d32又因为MO和ON段串联，所以有
u2×d22＝u3×d32
联立上述两式，则有
2500 u12＝2744.16 u22
u1＝1.048u2
又
qV＝u1πd12/4＋u2πd22/4
解之得
u2＝1.158m/s，u1＝1.214m/s qVA＝u1πd12/4＝38.14L/s qVB＝u2πd22/4＝81.86L/s hFmn＝λ×l1×u12/2d1＝73.69m2/s2
21
3.14 由水塔向车间供水，水塔水位不变。送水管径为50mm，管路总长为l，水塔水面与送水管出口间的垂直距离为H，流量为qv。因用水量增加50％，需对管路进行改装。有如下不同建议：
（1）将管路换为内径75mm的管子；
（2）在原管路上并联一长l/2、内径为50mm的管子，其一端接到原管线中点；
（3）增加一根与原管子平行的长为l、内径为25mm的管； （4）增加一根与原管子平行的长为l、内径为50mm的管； 试对这些建议作出评价，是否可用？
假设在各种情况下摩擦系数变化不大，局部阻力可以忽略。 解：由题可得 改造前的Σhf为
Σhf＝λ·l·u2/2d
当改造后的Σhf’＞Σhf时，改造不合理 （1）d’＝3/2d
u’＝1.5/1.52u＝2/3u Σhf’＝λ·l·u’2/2d’
＝8Σhf/27
改造可行
（2）对于前半段，
u’1＝1.5×u/2＝3u/4 Σhf’1＝λ·lu’12/（2×2d）
＝9/32Σhf
对于后半段
u’2＝3/2u
Σhf’2＝λ·l·u’22/（2×2d） ＝9/8Σhf
显然有Σhf’＞ Σhf 改造不可行
22
（3）由题可得，平行管内的阻力损失相等。 所以有方程组
d’1＝d/2
u’1×d’12＋u2×d2＝（3 u /2）×d2 λ·l·u’12/ d’12＝λ·l·u’22/2 d
解之可得
u’2＝（48－62）u /31＞u Σhf’＝λ·l·u’22/2 d＞ Σhf
即改造不可行 （4）由题有
u’1＝u’2
且有
u’1＋u’2＝3/2u
即有
u’1＝u’2＝3/4u Σhf’＝λ·l u’12/2 d ＝9/16Σhf
所以改造可行。
3.15 在内径为0.3m的管中心装一毕托管，用来测量气体流量。气体温度为40℃，压力为101.3kPa，粘度为2×10－5Pa·s，气体的平均相对分子质量为60。在同一管道截面测得毕托管的最大度数为30mmH2O。问此时管道中气体的流量为多少？
解：由题，气体的密度为
ρ＝PM/RT
＝101.3×103×60×10－3/（8.314×313） ＝2.336（kg/m3）
取C＝1
umax＝2gR(?0??)＝15.85m/s
? 23
Remax＝dumaxρ/μ＝5.55×105
查图有 u/umax＝0.86 所以有
qv＝u·πd2/4 ＝0.96m3/s
3.16 一转子流量计，其转子材料为铝。出厂时用20℃，压力为0.1MPa的空气标定，得转子高度为100mm时，流量为10m3/h。今将该流量计用于测量50℃，压力为0.15MPa下的氯气。问在同一高度下流量为多少？
解：由理想气体方程可得
ρ＝PM/RT
所以有
20℃，0.1M空气的密度
ρ0=0.1×106×28.95×10－3/（8.314×293）＝1.188（kg/m3）
50℃，0.15M氯气的密度
ρ=0.15×106×70.91×10－3/（8.314×323）＝3.96（kg/m3）
又因为有
qV?qV0?0??f??????f??0?＝0.547
qv＝10m3/s×0.547＝5.47m3/s
24
第四章 热量传递
4.1 用平板法测定材料的导热系数，即在平板的一侧用电加热器加热，另一侧以冷水通过夹层将热量移走，同时板的两侧由热电偶测量其表面温度，电热器流经平板的热量为电热器消耗的功率。设某材料的加热面积A为0.02m2，厚度b为0.01m，当电热器的电流和电压分别为2.8A和140V时，板两侧的温度分别为300℃和100℃；当电热器的电流和电压分别为2.28A和114V时，板两侧的温度分别为200℃和50℃。如果该材料的导热系数与温度的关系为线性关系，即
???0(1?aT)，式中T的单位为℃。试确定导热系数与温度关系的表达式。
解：设电热器的电流和电压为I和U，流经平板的热量流量为Q。 由题有
Q＝UI
且有
Q??A??Tb
对于薄板，取db厚度，有
Q??A?dTdb
又因为导热系数与温度存在线性关系，所以有
Q??0(1?aT)A?dTdb
分别对db和dT进行积分得
Q1b???0(1?aT)2?C A2a分别取边界条件，则得
Qab??0[(T2?T1)?(T22?T12)] A2根据题目所给条件，联立方程组
2.8A?140Va?0.01m??[(300℃?100℃)?(300℃2?100℃2)] 020.02m22.28A?114Va?0.01m??[(200℃?50℃)?(200℃2?50℃2)] 020.02m2解之得
25
a＝2.24×10-3K－1 λ0＝0.677W/（m·K）
因此，导热系数与温度的关系式为λ＝0.677（1+2.24×10-3T）
4.2 某平壁材料的导热系数???0(1?aT) W/(m·K)， T 的单位为℃。若已知通过平壁的热通量为q W/m2，平壁内表面的温度为T1。试求平壁内的温度分布。
解：由题意，根据傅立叶定律有
q＝－λ·dT/dy
即
q＝－λ0（1＋αT）dT/dy
分离变量并积分
?TT1?0(1?aT)dT???qdy
0y?0(T1?T)?整理得
a?02(T1?T2)?qy 2a?0T2?2?0T?2?0(T1?T12)?2qy?0
此即温度分布方程
4.3 某燃烧炉的炉壁由500mm厚的耐火砖、380mm厚的绝热砖及250mm厚的普通砖砌成。其λ值依次为1.40 W/(m·K)，0.10 W/(m·K)及0.92 W/(m·K)。传热面积A为1m2。已知耐火砖内壁温度为1000℃，普通砖外壁温度为50℃。
（1）单位面积热通量及层与层之间温度；
（2）若耐火砖与绝热砖之间有一2cm的空气层，其热传导系数为0.0459 W/(m·℃)。内外壁温度仍不变，问此时单位面积热损失为多少？ 解：设耐火砖、绝热砖、普通砖的热阻分别为r1、r2、r3。 （1）由题易得
r1＝0.5mb＝＝0.357 m2·K/W ?1?1?1.4WmK26
r2＝3.8 m2·K/W r3＝0.272·m2 K /W
所以有
q＝由题
T1＝1000℃ T2＝T1－QR1 ＝923.4℃ T3＝T1－Q（R1＋R2） ＝108.3℃ T4＝50℃
（2）由题，增加的热阻为
r’＝0.436 m2·K/W q＝ΔT/（r1＋r2＋r3＋r’） ＝195.3W/m2
4.4某一Φ60 mm×3mm的铝复合管，其导热系数为45 W/(m·K)，外包一层厚30mm的石棉后，又包一层厚为30mm的软木。石棉和软木的导热系数分别为0.15W/(m·K)和0.04 W/(m·K)。试求
（1）如已知管内壁温度为-105℃，软木外侧温度为5℃，则每米管长的冷损失量为多少？
（2）若将两层保温材料互换，互换后假设石棉外侧温度仍为5℃，则此时每米管长的冷损失量为多少？
解：设铝复合管、石棉、软木的对数平均半径分别为rm1、rm2、rm3。 由题有
rm1＝
?T＝214.5W/m2
r1?r2?r33mm＝28.47mm 30ln27 27
30mm＝43.28mm 60ln3030rm3＝mm＝73.99mm
90ln60rm2＝
（1）R/L＝＝
b12??1rm1?b22??2rm2?b32??3rm3
33030K?m/W?K?m/W?K?m/W
2??45?28.472??0.15?43.282??0.04?73.99＝3.73×10－4K·m/W＋0.735K·m/W＋1.613K·m/W ＝2.348K·m/W Q/L＝
?T＝46.84W/m R/Lb12??1rm1?b22??2rm2?b32??3rm3（2）R/L＝
＝
33030W?m/K?W?m/K?W?m/K
2??45?28.472??0.04?43.282??0.15?73.99 ＝3.73×10－4K·m /W＋2.758K·m /W＋0.430K·m /W ＝3.189K·m /W Q/L＝?T＝34.50W/m R/L4.5某加热炉为一厚度为10mm的钢制圆筒，内衬厚度为250mm的耐火砖，外包一层厚度为250mm的保温材料，耐火砖、钢板和保温材料的导热系数分别为0.38 W/（m·K）、45 W/（m·K）和0.10 W/（m·K）。钢板的允许工作温度为400℃。已知外界大气温度为35℃，大气一侧的对流传热系数为10 W/（m2·K）；炉内热气体温度为600℃，内侧对流传热系数为100 W/（m2·K）。试通过计算确定炉体设计是否合理；若不合理，提出改进措施并说明理由。（补充条件：有效管径2.0m）
解：设由耐火砖内侧表面和保温材料外测表面的面积分别为A1和A4，耐火砖、钢筒和保温材料的对数平均面积分别为Am1 、Am2 、Am3。钢板内侧温度为T。稳态条件下，由题意得：
1b1?a1?A1?1?Am1600?35600?T＝b2b311b1?????2?Am2?3?Am3a2?A4a1?A1?1?Am1
28
（因为钢板内侧温度较高，所以应该以内侧温度不超过400℃为合理） 有效管径R=2.0 m
带入已知条件，解得T＝463.5℃>400℃ 计算结果表明该设计不合理 改进措施：
1、提高钢板的工作温度，选用耐热钢板；
2、增加耐火砖厚度，或改用导热系数更小的耐火砖。
4.6水以1m/s的速度在长为3m的φ25×2.5mm管内，由20℃加热到40℃。试求水与管壁之间的对流传热系数。
解：由题，取平均水温30℃以确定水的物理性质。d＝0.020 m，u＝1 m/s，ρ＝995.7 kg/m3，μ＝80.07×10-5 Pa·s。
Re?du???0.020?1?995.74 ?2.49?10?580.07?10流动状态为湍流
?Cp80.07?10?5?4.174?103Pr???5.41
?0.6176所以得
??0.023??4.59?103W/(m2?K) 0.80.4d?Re?Pr
4.7用内径为27mm的管子，将空气从10℃加热到100℃，空气流量为250kg/h，管外侧用120℃的饱和水蒸气加热(未液化)。求所需要的管长。
解：以平均温度55℃查空气的物性常数，得λ＝0.0287W/（m·K），μ＝1.99×10
－5
Pa·s，
cp＝1.005kJ/（kg·K），ρ＝1.077kg/m3 由题意，得
u＝Q/（ρA）＝112.62m/s
Re＝duρ/μ＝0.027×112.62×1.077/（1.99×10－5）＝1.65×105
所以流动为湍流。
Pr＝μcp/λ＝（1.99×10－5）×1.005/0.0287＝0.697
29
α＝0.023·λ/d·Re0.8·Pr0.4 ＝315.88W/（m2·K） ΔT2＝110K，ΔT1＝20K
ΔTm＝（ΔT2－ΔT1）/ln（ΔT2/ΔT1） ＝（110K－20K）/ln（110/20） ＝52.79K
由热量守恒可得
απdLΔTm＝qmhcphΔTh L＝qmcphΔTh/（απdΔTm）
＝250kg/h×1.005kJ/（kg·K）×90K/［315.88W/
（m2·K）·π·0.027m·52.79K］
＝4.44m
4.8某流体通过内径为50mm的圆管时，雷诺数Re为1×105，对流传热系数为100 W /（m2·K）。若改用周长与圆管相同、高与宽之比等于1：3的矩形扁管，流体的流速保持不变。问对流传热系数变为多少？
解：由题，该流动为湍流。
0.023?0.80.4Re?Pr d?10.023?1d2Re10.8?Pr10.4? 0.80.4?20.023?2d1Re2?Pr2??因为为同种流体，且流速不变，所以有
?1Re10.8?d2? 0.8?2Re2?d1由Re?可得
du??
?1d10.8?d2d?0.8?(2)0.2 ?2d2?d1d1矩形管的高为19.635mm，宽为58.905mm，计算当量直径，得
30
d2＝29.452mm
?2?(
d10.2500.2)??1?()?100W/(m2?K)?111.17W/(m2?K) d229.4524.9在换热器中用冷水冷却煤油。水在直径为φ19×2mm的钢管内流动，水的对流传热系数为3490 W/（m2·K），煤油的对流传热系数为458 W/（m2·K）。换热器使用一段时间后，管壁两侧均产生污垢，煤油侧和水侧的污垢热阻分别为0.000176 m2·K/W和0.00026m2·K/W，管壁的导热系数为45 W/（m·K）。试求
（1）基于管外表面积的总传热系数； （2）产生污垢后热阻增加的百分数。 解：（1）将钢管视为薄管壁 则有
11b1????rs1?rs2K?1??210.00221m2?K/W?m?K/W?m2?K/W?0.00026m2?K/W?0.000176m2?K/W349045458?2.95?10?3m2?K/W?K＝338.9W/（m2·K）
（2）产生污垢后增加的热阻百分比为
?100%1?rs1?rs2 K0.176?0.26??100%?17.34%2.95?0.176?0.26rs1?rs2注：如不视为薄管壁，将有5％左右的数值误差。
4.10在套管换热器中用冷水将100℃的热水冷却到50℃，热水的质量流量为3500kg/h。冷却水在直径为φ180×10mm的管内流动，温度从20℃升至30℃。已知基于管外表面的总传热系数为2320 W/（m2·K）。若忽略热损失，且近似认为冷水和热水的比热相等，均为4.18 kJ/（kg·K）.试求 （1）冷却水的用量；
（2）两流体分别为并流和逆流流动时所需要的管长，并加以比较。
31
解：（1）由热量守恒可得
qmccpcΔTc＝qmhcphΔTh
qmc＝3500kg/h×50℃/10℃＝17500kg/h
（2）并流时有
ΔT2＝80K，ΔT1＝20K
?Tm??T2??T180K?20K??43.28K ?T280lnln20?T1 由热量守恒可得
KAΔTm＝qmhcphΔTh
即
KπdLΔTm＝qmhcphΔTh
L?qmhcph?ThK?d?Tm?3500kg/h?4.18kJ/(kg?K)?50K?3.58m
2320W/(m2?K)???0.18m?43.28K逆流时有
ΔT2＝70K，ΔT1＝30K
?Tm??T2??T170K?30K??47.21K ?T270lnln30?T1同上得
L?qmhcph?ThK?d?Tm?3500kg/h?4.18kJ/(kg?K)?50K?3.28m
2320W/(m2?K)???0.18m?47.21K比较得逆流所需的管路短，故逆流得传热效率较高。
4.11列管式换热器由19根φ19×2mm、长为1.2m的钢管组成，拟用冷水将质量流量为350kg/h的饱和水蒸气冷凝为饱和液体，要求冷水的进、出口温度分别为15℃和35℃。已知基于管外表面的总传热系数为700 W/（m2·K），试计算该换热器能否满足要求。
解：设换热器恰好能满足要求，则冷凝得到的液体温度为100℃。饱和水蒸气的潜热L＝2258.4kJ/kg
32
ΔT2＝85K，ΔT1＝65K
?Tm??T2??T185K?65K??74.55K ?T285lnln65?T1由热量守恒可得
KAΔTm＝qmL
即
A?qmL350kg/h?2258.4kJ/kg2 ??4.21mK?Tm700W/(m2?K)?74.55K列管式换热器的换热面积为A总＝19×19mm×π×1.2m
＝1.36m2＜4.21m2
故不满足要求。
4.12火星向外辐射能量的最大单色辐射波长为13.2μm。若将火星看作一个黑体，试求火星的温度为多少？
解：由λmT＝2.9×10－3 得T?
4.13若将一外径70mm、长3m、外表温度为227℃的钢管放置于： （1）很大的红砖屋内，砖墙壁温度为27℃； （2）截面为0.3×0.3m2的砖槽内，砖壁温度为27℃。
试求此管的辐射热损失。（假设管子两端的辐射损失可忽略不计）补充条件：钢管和砖槽的黑度分别为0.8和0.93 解：（1）Q1－2＝C1－2φ1－2A（T14－T24）/1004 由题有φ1－2＝1，C1－2＝ε1C0，ε1＝0.8 Q1－2＝ε1C0 A（T14－T24）/1004
＝0.8×5.67W/（m2·K4）×3m×0.07m×π×（5004K4－3004K4）/1004 ＝1.63×103W
（2）Q1－2＝C1－2φ1－2A（T14－T24）/1004
33
2.9?10?3?m2.9?10?3??219.70K 13.2?10?6由题有φ1－2＝1
C1－2＝C0/[1/ε1＋A1/A2（1/ε2－1）]
Q1－2＝C0/[1/ε1＋A1/A2（1/ε2－1）] A（T14－T24）/1004
＝5.67W/（m2·K4）[1/0.8＋（3×0.07×π/0.3×0.3×3）（1/0.93－1）]×3m×0.07m×π×（5004K4－3004K4）/1004
＝1.42×103W
4.14一个水加热器的表面温度为80℃，表面积为2m2，房间内表面温度为20℃。将其看成一个黑体，试求因辐射而引起的能量损失。
解：由题，应满足以下等式
Q1?2C1?2?1?2A(T14?T24) ?1004且有φ1－2＝1；A＝A1；C1－2＝C0×ε1 又有A1＝2m2；ε1＝1 所以有
Q1?2C0A1(T14?T24)5.67?2?(3534?2934)???925.04W 44100100 34
第五章 质量传递
5.1 在一细管中，底部水在恒定温度298K下向干空气蒸发。干空气压力为0.1×106pa、温度亦为298K。水蒸气在管内的扩散距离（由液面到管顶部）L＝20cm。在0.1×106Pa、298K的温度时，水蒸气在空气中的扩散系数为DAB＝2.50×10-5m2/s。试求稳态扩散时水蒸气的传质通量、传质分系数及浓度分布。
解：由题得，298K下水蒸气饱和蒸气压为3.1684×103Pa，则
pA,i＝3.1684×103Pa，pA,0＝0
pB,m?ln?pB,0pB,i?pB,0-pB,i?0.9841?105Pa
（1） 稳态扩散时水蒸气的传质通量：
NA?DABp?pA,i-pA,0?RTpB,mL?1.62?10?4mol?cm2?s?
（2） 传质分系数：
kG?NA?5.11?10?8mol?cm2?s?Pa?
?pA,i?pA,0?（3）由题有
?1?yA,0?1?yA??1?yA,i???1?y??A,i??zL
yA,i＝3.1684/100＝0.031684
yA,0＝0
简化得
yA?1?0.9683(1?5z)
5.2 在总压为2.026×105Pa、温度为298K的条件下，组分A和B进行等分子反向扩散。当组分A在两端点处的分压分别为pA,1＝0.4×105Pa和pA,2＝0.1×105Pa时，由实验测得k0G＝1.26×10-8kmol/(m2·s·Pa)，试估算在同样的条件下，组分A通过停滞组分B的传质系数kG以及传质通量NA。
解：由题有，等分子反向扩散时的传质通量为
35
00NA?kG?pA,1?pA,2??DAB?pA,1?pA,2?RTL
单向扩散时的传质通量为
NA?kG?pA,1?pA,2??DABp?pA,1?pA,2?RTpB,mL
所以有
0NA?kG?pA,1?pA,2?ppB,m
又有
pB,m?ln?pB,2pB,1?pB,2?pB,1?1.75?105Pa
即可得
0kG?kGppB,m=1.44×10-5mol/(m2·s·Pa)
NA?kG?pA,1?pA,2??0.44mol?m2?s?
5.3浅盘中装有清水，其深度为5mm，水的分子依靠分子扩散方式逐渐蒸发到大气中，试求盘中水完全蒸干所需要的时间。假设扩散时水的分子通过一层厚4mm、温度为30℃的静止空气层，空气层以外的空气中水蒸气的分压为零。分子扩散系数DAB＝0.11m2/h.水温可视为与空气相同。当地大气压力为1.01×105Pa。
解：由题，水的蒸发可视为单向扩散
NA?DABp?pA,i?pA,0?RTpB,mz
30℃下的水饱和蒸气压为4.2474×103Pa ，水的密度为995.7kg/m3 故水的物质的量浓度为995.7 ×103/18＝0.5532×105mol/m3 30℃时的分子扩散系数为
DAB＝0.11m2/h
pA,i＝4.2474×103Pa ，pA,0＝0
36
pB,m?ln?pB,0pB,i?pB,0?pB,i?0.9886?105Pa
又有NA＝c水V/(A·t)(4mm的静止空气层厚度认为不变) 所以有
c水V/(A·t)＝DABp(pA,i－pA,0)/(RTpB,m z)
可得t＝5.8h
故需5.8小时才可完全蒸发。
5.4 内径为30mm的量筒中装有水，水温为298K，周围空气温度为30℃，压力为1.01×105Pa，空气中水蒸气含量很低，可忽略不计。量筒中水面到上沿的距离为10mm，假设在此空间中空气静止，在量筒口上空气流动，可以把蒸发出的水蒸气很快带走。试问经过2d后，量筒中的水面降低多少？查表得298K时水在空气中的分子扩散系数为0.26×10-4m2/s。
解：由题有，25℃下的水饱和蒸气压为3.1684×103Pa，水的密度为995.7kg/m3 故水的物质的量浓度c水为995.7×103/18＝0.5532×105mol/m3 30℃时的分子扩散系数为
DAB＝D0(T/T0)1.75＝0.26×10-4m2/s×(303/298)1.75＝2.6768×10-5m2/s
pA,i＝3.1684×103Pa，pA,0＝0
pB,m＝(pB,0－pB,i)/ln(pB,0/pB,i)＝0.99737×105Pa
又有NA＝c水dV/(A·dt)＝c水dz/dt 所以有
c水dz/dt＝DABp(pA,i－pA,0)/(RT pB,m z)
分离变量，取边界条件t1＝0，z1＝z0＝0.01及t2＝2d, z2＝z，积分有
?可得z＝0.0177m
z0.01zdz??2?24?3600DABp(pa,i?pa,0)RTpB,mc水0dt
Δz＝z－z0＝0.0077m＝7.7mm
5.5 一填料塔在大气压和295K下，用清水吸收氨－空气混合物中的氨。传
37
质阻力可以认为集中在1mm厚的静止气膜中。在塔内某一点上，氨的分压为6.6×103N/m2。水面上氨的平衡分压可以忽略不计。已知氨在空气中的扩散系数为0.236×10-4m2/s。试求该点上氨的传质速率。
解：设pB,1,pB,2分别为氨在相界面和气相主体的分压，pB,m为相界面和气相主体间的对数平均分压 由题意得：
pB,m?ln?pB,2pB,1?pB,2?pB,1?0.97963?105Pa
NA?DABp?pA,1?pA,2?RTpB,mL??6.57?10?2mol?m2?s?
5.6 一直径为2m的贮槽中装有质量分数为0.1的氨水，因疏忽没有加盖，则氨以分子扩散形式挥发。假定扩散通过一层厚度为5mm的静止空气层。在1.01×105Pa、293K下，氨的分子扩散系数为1.8×10-5m2/s，计算12h中氨的挥发损失量。计算中不考虑氨水浓度的变化，氨在20℃时的相平衡关系为P=2.69×105x(Pa)，x为摩尔分数。
解：由题，设溶液质量为a g 氨的物质的量为0.1a/17mol 总物质的量为(0.9a/18＋0.1a/17)mol 所以有氨的摩尔分数为x?0.1a17?0.1053
0.9a18?0.1a17故有氨的平衡分压为p＝0.1053×2.69×105Pa＝0.2832×105Pa 即有
pA,i＝0.2832×105Pa，PA0＝0
pB,m?ln?pB,0pB,i?pB,0?pB,i?0.8608?105Pa
所以
NA?DABp?pA,i?pA,0?RTpB,mL?4.91?10?2mol?m2?s?
38
n=NA??d24?t?6.66?103mol
5.7在温度为25℃、压力为1.013×105Pa下，一个原始直径为0.1cm的氧气泡浸没于搅动着的纯水中，7min后，气泡直径减小为0.054cm，试求系统的传质系数。水中氧气的饱和浓度为1.5×10-3mol/L。
解：对氧气进行质量衡算，有
－cA,GdV/dt＝k(cA,s－cA)A
即
dr/dt＝－k(cA,s－cA)/cA,G
由题有
cA,s＝1.5×10-3mol/L
cA＝0
cA,G＝p/RT＝1.013×105/(8.314×298)mol/m3＝40.89mol/m3
所以有
dr＝－0.03668k×dt
根据边界条件 t1＝0，r1＝5×10-4m t2＝420s，r2＝2.7×10-4m 积分，解得
k＝1.49×10-5m/s
5.8 溴粒在搅拌下迅速溶解于水，3min后，测得溶液浓度为50％饱和度，试求系统的传质系数。假设液相主体浓度均匀，单位溶液体积的溴粒表面积为a，初始水中溴含量为0，溴粒表面处饱和浓度为cA,S。
解：设溴粒的表面积为A，溶液体积为V，对溴进行质量衡算,有
d(VcA)/dt＝k(cA,S－cA)A
因为a＝A/V，则有
dcA/dt＝ka（cA,S－cA）
39
对上式进行积分，由初始条件，t＝0时，cA＝0，得
cA/cAS＝1－e-kat
所以有
?cA??1?0.5??3?1ka=?tln?1???180sln1??3.85?10s ??????c?1??A,S???1
5.9 在稳态下气体A和B混合物进行稳态扩散，总压力为1.013×105Pa、温度为278K。气相主体与扩散界面S之间的垂直距离为0.1m，两平面上的分压分别为PA1=1.34×104Pa和PA2=0.67×104Pa。混合物的扩散系数为1.85×10-5m2/s，试计算以下条件下组分A和B的传质通量，并对所得的结果加以分析。
（1）组分B不能穿过平面S； （2）组分A和B都能穿过平面S。
解：（1）由题，当组分B不能穿过平面S时，可视为A的单向扩散。
pB,1＝p－pA,1＝87.9kPa pB,2＝p－pA,2＝94.6kPa
pB,m?ln?pB2pB,1?pB,2?pB,1?0.9121?105Pa
DAB＝1.85×10-5m2/s
NA?DABp?pA,1?pA,2?RTpB,mL?5.96?10?4mol?m2?s?
（2）由题，当组分A和B都能穿过平面S，可视为等分子反向扩散
NA?DAB?pA,1?pA,2?RTL?5.36?10?4mol?m2?s?
可见在相同条件下，单向扩散的通量要大于等分子反向扩散。
40
第六章 沉降
6.1 直径60μm的石英颗粒，密度为2600kg/m3，求在常压下，其在20℃的水中和20℃的空气中的沉降速度（已知该条件下，水的密度为998.2kg/m3，黏度为1.005×10-3Pa·s；空气的密度为1.205kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa·s）。
解：（1）在水中
假设颗粒的沉降处于层流区，由式（6.2.6）得：
ut???P???gdP18?2??2600?998.2??9.81??60?10?6?18?1.005?10?32?3.13?10?3m/s
检验：ReP?dPut??60?10?6?3.13?10?3?998.2??0.186?2
1.005?10?3位于在层流区，与假设相符，计算正确。 （2）在空气中 应用K判据法，得
K?dPg???P???3?2??60?10?6??9.81?1.205?26003?1.81?10?2?52?20.3?36
所以可判断沉降位于层流区，由斯托克斯公式，可得：
ut?
??P???gdP18??2600?9.81??60?10?6?18?1.81?10?52?0.28m/s
6.2 密度为2650kg/m3的球形颗粒在20℃的空气中自由沉降，计算符合斯托克斯公式的最大颗粒直径和服从牛顿公式的最小颗粒直径（已知空气的密度为1.205kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa·s）。
解：如果颗粒沉降位于斯托克斯区，则颗粒直径最大时，ReP?dPut???2
?????gdP?所以ut?2，同时ut?P
18?dP?2所以dp?32?18?2，代入数值，解得dp?7.22?10?5m
???p???g41
同理，如果颗粒沉降位于牛顿区，则颗粒直径最小时，ReP?dPut???1000
?所以ut?1000，同时ut?1.74dP???p???gdp? ?2所以dp?32.33，代入数值，解得dp?1.51?10?3m
???p???
6.3 粒径为76μm的油珠（不挥发，可视为刚性）在20℃的常压空气中自由沉降，恒速阶段测得20s内沉降高度为2.7m。已知20℃时，水的密度为998.2kg/m3，黏度为1.005×10-3Pa·s；空气的密度为1.205kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa·s。求：
（1）油的密度；
（2）相同的油珠注入20℃水中，20s内油珠运动的距离。
解：（1）油珠在空气中自由沉降的速度为 ut?L/s?2.7/20?0.135m/s 假设油珠在空气中自由沉降位于层流区，由斯托克斯公式
ut???p???gdp18?2
18?1.81?10?5?0.1359.81?76?10?6?p?18?utgdp2?????2?1.205?777.4kg/m3
检验油珠的雷诺数为Rep?属于层流区，计算正确。
dput??76?10?6?0.135?1.205??0.68?2 ?51.81?10（2）假设油珠在水中自由上浮位于层流区，由斯托克斯公式
ut?????p?gdp218???998.2?777.4??9.81??76?10?6?18?1.005?10dput??3?62?6.92?10?4m/s
?4计算油珠的雷诺数Rep??76?10??6.92?10??1.005?10?3?998.2?0.052?2
属于层流区，假设正确，所以油珠在水中运动的距离为
L?utt?6.92?10?4?20?0.0138m
42
6.4容器中盛有密度为890kg/m3的油，黏度为0.32Pa·s，深度为80cm，如果将密度为2650kg/m3、直径为5mm的小球投入容器中，每隔3s投一个，则：
（1）如果油是静止的，则容器中最多有几个小球同时下降？
（2）如果油以0.05m/s的速度向上运动，则最多有几个小球同时下降？ 解：（1）首先求小球在油中的沉降速度，假设沉降位于斯托克斯区，则
?P???gdP2?2650?890??9.81??5?10?ut??18?18?0.32检验Rep?dput??32??7.49?10?2m/s
?5?10?3?7.49?10?2?890??1.04?2
0.32沉降速度计算正确。
小球在3s内下降的距离为7.49?10?2?3?22.47?10?2m
?80?10?/?22.47?10??3.56
?2?2所以最多有4个小球同时下降。
（2）以上所求得的小球的沉降速度是小球与油的相对速度，当油静止时，也就是相对于容器的速度。当油以0.05m/s的速度向上运动，小球与油的相对速度仍然是ut?7.49?10?2 m/s，但是小球与容器的相对速度为u'?2.49?10?2 m/s
所以，小球在3s内下降的距离为2.49?10?2?3?7.47?10?2m
?80?10?/?7.47?10??10.7
?2?2所以最多有11个小球同时下降。
6.5 设颗粒的沉降符合斯托克斯定律，颗粒的初速度为零，试推导颗粒的沉降速度与降落时间的关系。现有颗粒密度为1600kg/m3，直径为0.18mm的小球，在20℃的水中自由沉降，试求小球加速到沉降速度的99%所需要的时间以及在这段时间内下降的距离（已知水的密度为998.2kg/m3，黏度为1.005×10-3Pa·s）。
解：（1）对颗粒在水中的运动做受力分析
F?Fg?Fb?FD??6dp3?pg??6dp3?g?3??dpu
43
所以，
(?p??)g18?uduFF????2
?dtm?pdp?pdp3?p6tut对上式积分得，?dt??00du
(?p??)g18?u?2?pdp?p18??uln?1?得t??18??utdp2?p?2t???dp?p?，其中Ut为终端沉降速度， ?或u?ut?1?e?????ut???p???gdp218?utdp???1600?998.2??9.81??0.18?10?3?18?1.005?10?32?1.06?10?2m/s
检验Rep??1.06?10?2?0.18?10?3?998.2??1.9?2，符合题意， ?31.005?10所以小球加速到沉降速度99%的时间为
?ut??ln?1?18??utdp2?p0.18?10?3??1600??ln?1?0.99??1.32?10?2s ????318?1.005?10?218??2t??dLd?（2）由u??ut?1?epp?
??dt??18???d2???18?2t?t???2dp?pdp?ppp?dt?ut?t??e所以L?ut??1?e?1??
0????18?????????t?3???18?1.005?210?1.32?10?2???320.18?10??1600??0.18?10?3??1600?????2?2?4L?1.06?10??1.32?10?e?1?1.1?10m?3???18?1.005?10????????
6.6 落球黏度计是由一个钢球和一个玻璃筒组成，将被测液体装入玻璃筒，然后记录下钢球落下一定距离所需要的时间，即可以计算出液体黏度。现在已知钢球直径为10mm，密度为7900 kg/m3，待测某液体的密度为1300 kg/m3，钢球在液体中下落200mm，所用的时间为9.02s，试求该液体的黏度。
解：钢球在液体中的沉降速度为ut?L/s?200?10?3/9.02?0.022m/s 假设钢球的沉降符合斯托克斯公式，则
44
????2p???gdp18ututdp???7900?1300??9.81??10?10?3?18?0.0222s ?16.35Pa·
检验：Rep?
?0.022?10?10?3?1300??0.017?2，假设正确。
16.356.7 降尘室是从气体中除去固体颗粒的重力沉降设备，气体通过降尘室具有一定的停留时间，若在这个时间内颗粒沉到室底，就可以从气体中去除，如下图所示。现用降尘室分离气体中的粉尘（密度为4500kg/m3），操作条件是：气体体积流量为6m3/s，密度为0.6kg/m3，黏度为3.0×10-5Pa·s，降尘室高2m，宽2m，长5m。求能被完全去除的最小尘粒的直径。
含尘气体
降尘室 ut ui 净化气体 图6-1 习题6.7图示
解：设降尘室长为l，宽为b，高为h，则颗粒的停留时间为t停?l/ui，沉降时间为t沉?h/ut，当t停?t沉时，颗粒可以从气体中完全去除，t停?t沉对应的是能够去除的最小颗粒，即l/ui?h/ut
因为ui?qVhuhqq6，所以ut?i?V?V??0.6m/s hbllhblb5?2假设沉降在层流区，应用斯托克斯公式，得
dpmin?检验雷诺数
18?ut18?3?10?5?0.6??8.57?10?5m?85.7μm
9.81??4500?0.6?g??p???Rep?dput??8.57?10?5?0.6?0.6??1.03?2，在层流区。
3?10?5所以可以去除的最小颗粒直径为85.7μm
45
6.8 采用平流式沉砂池去除污水中粒径较大的颗粒。如果颗粒的平均密度为2240kg/m3，沉淀池有效水深为1.2m，水力停留时间为1min，求能够去除的颗粒最小粒径（假设颗粒在水中自由沉降，污水的物性参数为密度1000kg/m3，黏度为1.2 ×10-3Pa·s）。
解：能够去除的颗粒的最小沉降速度为假设沉降符合斯克托斯公式，则ut18?ut?所以dP???P???gut?h/t沉?1.2/60?0.02m/s
?P???gdP2??18?
18?1.2?10?3?0.02?1.88?10?4m
?2240?1000??9.81检验Rep?dput??1.88?10?4?0.02?1000??3.13?2，假设错误。 ?31.2?10假设沉降符合艾伦公式，则ut?0.27??P???gdPRe0.6p?1.420.6 1000?0.4u???所以dp?1.6t20.27??p???g1.40.60.4?0.0?21.6??1.?2?31?0??22?401000??0.27???4?2.1?2109.81m
检验Rep?dput?2.12?10?4?0.02?1000??3.5，在艾伦区，假设正确。
1.2?10?3?所以能够去除的颗粒最小粒径为2.12×10-4m。
6.9 质量流量为1.1kg/s、温度为20℃的常压含尘气体，尘粒密度为1800kg/m3，需要除尘并预热至400℃，现在用底面积为65m2的降尘室除尘，试问
（1）先除尘后预热，可以除去的最小颗粒直径为多少？
（2）先预热后除尘，可以除去的最小颗粒直径是多少？如果达到与（1）相同的去除颗粒最小直径，空气的质量流量为多少？
（3）欲取得更好的除尘效果，应如何对降尘室进行改造？
46
（假设空气压力不变，20℃空气的密度为1.2kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa·s，400℃黏度为3.31×10-5Pa·s。）
1.1降尘室的底面积为65m2 ?0.917m3/s，
1.2q0.917所以，可以全部去除的最小颗粒的沉降速度为ut?V??0.0141m/s
A65解：（1）预热前空气体积流量为qV?假设颗粒沉降属于层流区，由斯托克斯公式，全部去除最小颗粒的直径为
dp,min?18?ut18?1.81?10?5?0.0141??1.61?10?5m?16.1μm
??p???g?1800?1.2??9.81检验雷诺数
?dput1.2?1.61?10?5?0.0141Rep???0.015?2 假设正确
?1.81?10?5（2）预热后空气的密度和流量变化为
2931.1?0.522kg/m3，体积流量为qV??2.11m3/s
273?4000.522q2.11可以全部去除的最小颗粒的沉降速度为ut?V??0.0325m/s
A65??1.2?同样假设颗粒沉降属于层流区，由斯托克斯公式，全部去除最小颗粒的直径为
dp,min?18?ut18?3.31?10?5?0.0325??3.31?10?5m?33.1μm
??p???g?1800?0.522??9.81检验雷诺数
?dput0.522?3.31?10?5?0.0325Rep???0.017?2假设正确 ?5?3.31?10dp?16.1μm的颗粒在400℃空气中的沉降速度为 ut???p???gdp18?22?1800?0.522??9.81??1.61?10?5??18?3.31?10?5?0.00768m/s
要将颗粒全部除去，气体流量为qV?Aut?65?0.00768?0.5m3/s 质量流量为0.5?0.522?0.261kg/s
（3）参考答案：将降尘室分层，增加降尘室的底面积，可以取得更好的除尘效果。
47
6.10 用多层降尘室除尘，已知降尘室总高4m，每层高0.2m，长4m，宽2m，欲处理的含尘气体密度为1 kg/m3，黏度为3×10-5Pa·s，尘粒密度为3000 kg/m3，要求完全去除的最小颗粒直径为20μm，求降尘室最大处理的气体流量。
解：假设颗粒沉降位于斯托克顿区，则颗粒的沉降速度为
ut???p???gdp218???3000?1??9.81??20?10?6?18?3?10?52?0.0218m/s
?dput1?2.0?10?5?0.0218检验Rep???0.0145?2，假设正确 ?5?3?10降尘室总沉降面积为A?20?4?2?160m2
所以最大处理流量为qV?Aut?160?0.0218?3.488m3/s
6.11 用与例题相同的标准型旋风分离器收集烟气粉尘，已知含粉尘空气的温度为200℃，体积流量为3800 m3/h，粉尘密度为2290 kg/m3，求旋风分离器能分离粉尘的临界直径（旋风分离器的直径为650mm，200℃空气的密度为0.746 kg/m3，黏度为2.60×10-5 Pa·s）。
解：标准旋风分离器进口宽度B?D/4?0.65/4?0.1625m， 进口高度hi?D/2?0.65/2?0.325m，
进口气速ui?qV/Bhi??3800/3600?/?0.1625?0.325??19.99m/s 所以分离粉尘的临界直径为
9?B9?2.60?10?5?0.1625dc???7.27?10?6m=7.27μm
?ui?pN3.14?19.99?2290?5
6.12体积流量为1m3/s的20℃常压含尘空气，固体颗粒的密度为1800 kg/m3（空气的密度为1.205kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa·s）。则
（1）用底面积为60m2的降尘室除尘，能够完全去除的最小颗粒直径是多少？
（2）用直径为600mm的标准旋风分离器除尘，离心分离因数、临界直径和分割直径是多少？
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解：（1）能完全去除的颗粒沉降速度为
ut?qV1??0.0167m/s A60假设沉降符合斯托克斯公式，能够完全去除的最小颗粒直径为
dp,min18?ut18?1.81?10?5?0.0167???1.76?10?5m?17.6μm
?1800?1.205??9.81??p???g?dput1.205?1.76?10?5?0.0167检验：Rep???0.064?2，假设正确。 ?5?1.81?10（2）标准旋风分离器
进口宽度B?D/4?0.6/4?0.15m，进口高度hi?D/2?0.6/2?0.3m，进口气速ui?qV/Bhi?1/?0.15?0.3??22.22m/s
ui2ui222.222分离因数Kc????224
grgD?B9.81?0.6?0.37529?B9?1.81?10?5?0.15??6.24?10?6m=6.24μm 临界粒径dc??ui?pN3.14?22.22?1800?5分割直径
?D1.81?10?5?0.6d50?0.27?0.27??4.45?10?6m=4.45μm
?pui1800?22.22
6.13 原来用一个旋风分离器分离气体粉尘，现在改用三个相同的、并联的小旋风分离器代替，分离器的形式和各部分的比例不变，并且气体的进口速度也不变，求每个小旋风分离器的直径是原来的几倍，分离的临界直径是原来的几倍。
解：（1）设原来的入口体积流量为qV，现在每个旋风分离器的入口流量为qV/3，入口气速不变，所以入口的面积为原来的1/3，
又因为形式和尺寸比例不变，分离器入口面积与直径的平方成比例， 所以小旋风分离器直径的平方为原来的1/3，则直径为原来的1/3?0.58 所以小旋风分离器直径为原来的0.58倍。 （2）由式（6.3.9）
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dc?9?B ?ui?pN由题意可知：?、ui、?p、N都保持不变，所以此时dc?B 由前述可知，小旋风分离器入口面积为原来的1/3，则B为原来的
1/3?0.58倍
所以
dc?0.58?0.76倍 dc原所以分离的临界直径为原来的0.76倍。
6.14用一个小型沉降式离心机分离20℃水中直径10μm以上的固体颗粒。已知颗粒的密度为1480kg/m3，悬浮液进料半径位置为r1=0.05m，离心机转鼓壁面半径为r2=0.125m，求离心机转速为1000r/min和3000r/min时的平均分离因数和固体颗粒沉降到转鼓壁面位置所需要的时间（水的密度为998.2kg/m3，黏度为1.005×10-3Pa·s）。
解：先计算颗粒在离心机中的最大沉降速度
ut???p???dpr2?2218???1480?998.2???1.0?10?5??0.125??2??3000/60?2218?1.005?10?3?0.0329m/s?dput998.2?1.0?10?5?0.0329??0.327?2，符合斯托克斯 检验，雷诺数Rep??1.005?10?3公式。
所以，当n?1000r/min
2?0.05?0.125??2??1000/60???rm?2?2??Kc???97.8
g9.81t??r2r1r2dr18?18?1.005?10?30.125?ln?ln?31.3s222222?5??p???dpr???p???dp?r1?1480?998.2???1.0?10???2??1000/60?0.0518?同理，当n?3000r/min
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