如：(2+3)=(2)+2×2×3+3=2+62+9=11+62；(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2；

( a+b -?)2=( a+b)2-2( a+b)?+?2= a2+2a b+b2-2?a-?b +?2； （2）注意公式运用时的对位“套用”； （3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca

特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。

§12.4 整式的除法

一、单项式除以单项式

法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c =-7ab2c 222

（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 =8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3 =（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y2 424-25（2a+b）÷（2a+b）=（5÷1）（2a+b）=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2 二、多项式除以单项式

法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。

如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2

÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y

[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x

◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

§12.5 因式分解

一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）

因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 △具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。

△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)； 如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5

5

a·a+5a·5=-5 a(a+5)

(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)

三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。 1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。 △注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)； ?2n?1?2??2n?1?2?(2n?1?2n?1)(2n?1?2n?1)?8n

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。

2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。 △注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+(2y)2=( x+2 y)2

（2）注意公式运用时的对位“套用”； （3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。 四、补充分解法：

1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。

如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1)

2、“十字相乘法”

如：x2?9x?14=(x+2)( x+7) x2?2x?8=(x+2)( x-4) 1 2 1 2

1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2

五、综合

1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。

2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。

3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。

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第13章全等三角形

命题 定义：可以判断真假的陈述句叫命题，正确的命题叫真命题，

错误的命题叫假命题；一个命题分题设和结论两部分。

公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，

并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。

定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正

确的，并可以作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理。

互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的

结论，而第一个命题结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫

做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。

?画线段?画角 五种基本尺规作图? ??画垂直平分线?过已知点画垂线???画角平分线1.等腰三角形的判定: ①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形

所对的边也相等； ②如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

①性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2.角平分线：②判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上

3.垂直平分线： ①性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

②判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 1.全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。

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2.全等三角形：

定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 表示方法： ABC ≌ DEF 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等

3.三角形全等的判定：

No.1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。 No.2 边脚边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.3 角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.4 角角边（AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三

角形全等。

No.5 斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

第14章 勾股定理

§14.1勾股定理

一、直角三角形三边的关系

1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

A

几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90o， c

b

∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c

C B a 则有：a2+b2=c2。

2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。 3、注意事项：（1）勾股定理必须在Rt△使用，若遇到非Rt△，则可引垂线段“造”Rt△。（2）注意Rt△中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。（3）在运用勾股定理求边长时，要用到“开平方”运算，一定要指明“边长为正”的条件，求的是边长的算数平方根。

二、Rt△的判定

1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。 2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则∠C=90o。 ☆“勾股数”：指三个满足a2+b2=c2的正整数，我们称为勾股数。

☆注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt△。 三、反证法的步骤：先假设 是正确的，然后通过 ，推出与基本事实，

， ，或 相矛盾，说明 ，从而得到 。

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