八年级数学上册复习提纲

第11章 数的开方 §11.1平方根与立方根

一、平方根

1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）

即：若x2=a，则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。

二、算术平方根

1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a≥0。

三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）

即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。

其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。

四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。

五、立方根

1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）

即：若x3=a，则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。

3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。

3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。

六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。

七、注意事项： 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。

2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。

如：若x?3有意义，则x取值范围是 。（∵x-3≥0，∴x≥3）

1

（填：x≥3）

若3?x2009有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数） 3、3?a??3a。如：∵3?27??3，?327??3，∴3?27??327

4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。

如：10?7?6?5?2等。23和32怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！！！！！！！）

5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。

如：确定7的取值范围。∵4＜7＜9，∴2＜7＜3。 6、几个常见的算数平方根的值：2?1.414，3?1.732，5?2.236，6?2.449，7?2.646。

八、补充的二次根式的部分内容

1、二次根式的定义：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式。

2、二次根式的性质：(1)ab?a?b（a≥0，b≥0）；(2)

a?bab（a≥0，

b＞0）；

(3) (a)2?a（a≥0）； (4) a2?|a|

3、二次根式的乘除法：（1）乘法：a?b?ab（a≥0，b≥0）；（2）除法：

ab?a（a≥0，b＞0） b

§11.2实数与数轴

一、无理数

1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数：

?7?1，6?2，35?2等。（1）开方开不尽的数。如：10，7，6，5，2，210， （2）“?”类的数。如：?，??，，，2?等。

（3）无限不循环小数。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，等

二、实数

1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。 2、与实数有关的概念：

（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。 （2）倒 数：非零实数a的倒数为（a≠0）。若实数a、b互为倒数，则

1a?31?ab=1。

?a(a?0)?（3）绝对值：实数a的绝对值为：|a|??0(a?0)

??a(a?0)?

2

3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。 4、实数的分类：

（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。 （2）按照定义分为： 5、几个“非负数”：（1）a2≥0；（2）|a|≥0；（3）a≥0。 6、实数与数轴上的点是一一对应关系。

第12章 整式的乘除 §12.1幂的运算

一、同底数幂的乘法

1、法则：am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：?2·?3·?4=?2+3+4=?9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；

(2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8

（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。 （3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。 二、幂的乘方

1、法则：(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：｛[(am)n]p｝s=amn p s 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：(?2)3=?2×3=?6；[(2)3]4=(2)3×4=(2)12；[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8 （2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3 三、积的乘方

1、法则：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen

文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。 2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(2?)3=22?2=4?2；(2×3)2=(2)2×(3)2=2×3=6； (-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2 （2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2

四、同底数幂的除法

1、法则：am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2、注意事项：

3

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：?4÷?3=?4-3=?；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；

(2)6÷(2)4=(2)6-4=(2)2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2

（2）注意a≠0这个条件。 （3）注意该法则的逆应用，即：am-n = am÷an；如：a x-y= ax÷ay，(x+y)2a-3=(x+y)2a

÷(x+y)3

§12.2 整式的乘法

一、单项式与单项式相乘

法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)=[(-5)×(-4)×(-)]·(a2·a)·(b2·b2)·c =-30a3b4c 二、单项式与多项式相乘 法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(?3x2)(?x2?2x?1)?(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3x4?6x3?3x2 三、多项式与多项式相乘 法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb

(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的

每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb

§12.3 乘法公式

一、两数和乘以这两数的差

1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2； (a+b+?)( a+b -?)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。 二、完全平方公式

1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

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