（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，由此可得A、M、F、Q四点共圆，根据圆周角定理可得∠AFM=∠AQM=60°．在Rt△OGF中运用三角函数可求得OF=角函数可得

=

．设HF=x，则MH=

x，OH=

，在Rt△MHF中运用三

﹣x．在Rt△OHM中运用勾股定理

可求出x，从而可得OH，MH，就可得到点M的坐标． 【解答】解：（1）如图1，

∵∠MOP=60°，∴∠MAP=30°． ∵∠MAQ=60°，∴∠QAP=30°． ∵AP是⊙O的直径， ∴∠AQP=90°，

∴∠APQ=60°，即α=60°． 故答案为60；

（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2．

由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，

∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°， ∴∠AMN=∠QMP． 在△AMN和△QMP中，

，

∴△AMN≌△QMP， ∴∠MAN=∠MQP．

∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ， ∴∠AFQ=∠AMQ=60°， ∴α的度数为60°；

（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，

过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．

则有∠OGF=90°．

由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°， ∴A、M、F、Q四点共圆， ∴∠AFM=∠AQM=60°． ∴在Rt△MHF中，tan∠HFM=在Rt△OGF中，sin∠OFG=∵OG=1，∴OF=设HF=x，则MH=

． x，OH=

﹣x． ==

． ，

在Rt△OHM中，由勾股定理可得：

（

﹣x）2+（

， ﹣

=

x）2=12，

解得x1=x2=∴OH=

，MH=， ，）或（﹣

，﹣）．

∴点M的坐标为（故答案为（

，）或（﹣，﹣）．

【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、四点共圆的判定、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，在△OMF中求出OF及∠OFM是解决第（3）小题的关键．

23．（2015秋?平谷区期末）探究活动：

利用函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数y=

的自变量x的取值范围是 ；

图象的一部分，请补全函数图象；

的

（2）如图2，他列表描点画出了函数y=解决问题： 设方程

﹣x﹣b=0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2=x+B的

，则x1、x2、x3、x4的大小关系为 （用“＜”连

两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜接）．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据二次根式的性质，列出不等式，解之即可；

（2）由于x≤1或x≥2，所以函数图象应该是两条分支，根据对称性，补全另一分支即可；（3）将方程的根转化为两函数图象交点的横坐标，作出函数图象，一目了然．

【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣2）≥0， ∴x≤1或x≥2；

（2）根据自变量x的取值范围可知，当x≥2时也有对应的函数图象， 补全后的函数图象如下图所示：

（3）方程﹣x﹣b=0等价于方程=x+b，

方程的两根x1、x2相当于函数y=标，

与函数y=x+b图象的两个交点的横坐

方程x2﹣3x+2=x+b的两根为x3、x4，相当于函数y=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）与函数y=x+b图象的两个交点的横坐标， 又∵1＜b＜

，

所以，在同一平面直角从标系中，画出函数图象，如图所示：

故x1＜x3＜x4＜x2．