(1)f(x)的最小正周期；

(2)使f(x)=0的x的取值集合； (3)使f(x)＜0的x的取值集合； (4)f(x)的单调递增区间和递减区间； (5)求使f(x)取最小值的x的集合； (6)图象的对称轴方程； (7)图象的对称中心．

解析： 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+?)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．

注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．

注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1

注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0

【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．

π

练习：1．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的部分2

图象如图所示．

9

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象， 试写出变换过程． 解 (1)由图象知A＝2.

f(x)的最小正周期T＝4×?5π?12－π6??＝π，故ω＝2π

T＝2. 将点?π?6，2??代入f(x)的解析式，得sin?π

?3＋φ??＝1. 又|φ|<π2，∴φ＝π6

.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin??

2x＋π

6??. (2)方法一 y＝2sin x??????向左平移?6个坐标? π横坐标缩短为原来的1y＝2sin??x＋6?????????2?纵坐标不变?y＝2sin?

2x＋π6??. 方法二 y＝2sin x???????横坐标缩短为原来的12纵坐标不变?y＝2sin 2x 2．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2

，x∈R)

的一部分如图所示 (1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈??－6，－2

3??时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值值 及相应的x的值． 解 (1)由图象知A＝2，T＝8，

∵T＝2ππ

ω＝8，∴ω＝4

. 又图象过点(－1,0)，∴2sin??－π

4＋φ??＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π

4.∴f(x)＝2sin?ππ?4x＋4??. (2)y＝f(x)＋f(x＋2)

＝2sin?π?4x＋π4??＋2sin?π?4x＋ππ

2＋4?? ＝22sin?π?4x＋π2??＝22cos π4x. ∵x∈??－6，－23πππ3??，∴－2≤4x≤－6

. ∴当π4x＝－π6，即x＝－2

3

时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；

10

的图象

与最小

π

当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22. 4

易错分析 y＝f(x)＋f(x＋2)化简错误，化简公式和方法不熟致误． π2x＋?. ???????y＝2sin?6??

向左平移个坐标12?π

3．(14分)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)2

图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

的一段

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝6与函数y＝f(x)＋

4g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 2π

解 (1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2，

T

π

将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，

12得y＝2sin(2x＋φ)的图象．

πππ

2x＋?. 于是φ＝2×＝，∴f(x)＝2sin?6??126ππ

x－?＋? (2)依题意得g(x)＝2sin?2??4?6

??π

2x＋?. ＝－2cos?6??

ππ

2x＋?－2cos?2x＋? 故y＝f(x)＋g(x)＝2sin?6?6???π

2x－?. ＝22sin?12??

ππ32x－?＝6，得sin?2x－?＝. 由22sin?12?12?2??πππ

∵0

121212πππ2π

∴2x－＝或2x－＝，

12312353∴x＝π或x＝π，

248

5π3π

，6?或?，6?. ∴所求交点坐标为??24??8?

π??π?易错分析 f(x)向右平移4个单位得g(x)＝2sin2x－4

???

π

＋6?，学生易错为

?

ππ??2x－g(x)＝2sin4＋6?，忽略了x的系数2的作用． ?

11

一、选择题

π

1．将函数y＝sin(x－)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向

3π

左平移个单位，得到图象的解析式是( )

3

π

A．y＝sin(2x＋) 31π

C．y＝sin(x－)

26[答案] C

π

[解析] 将函数y＝sin(x－)图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y

3xππ1ππxπ＝sin(－)的图象，再将所得函数图象向左平移个单位，得到函数y＝sin[(x＋)－]＝sin(－)的

23323326图象，故选C.

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )

1π

B．y＝sin(x－) 22π

D．y＝sin(2x－)

6

2π

A．y＝2sin(2x＋) 3xπ

C．y＝2sin(－)

23[答案] A

5ππ

[解析] 由图象可知，A＝2，T＝2[－(－)]＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin(2x＋φ)，

1212ππ

又∵2×(－)＋φ＝，

1222π2π

∴φ＝，∴y＝2sin(2x＋)．

333．函数y＝sin|x|的图象是( )

π

B．y＝2sin(2x＋)

3π

D．y＝2sin(2x－)

3

12