人教版高中数学 三角函数y?Asin(?x??)的图像变换

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（?x??）（?x??）1结合具体实例，理解y=Asin的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin的简图。会用计算机

画图，观察并研究参数A,?,?，进一步明确A,?,?对函数图象的影响。

（?x??）2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin 的图象。

3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

1、函数图象的左右平移变换

如在同一坐标系下，作出函数y?sin(x?图象之间的关系。 解析：函数y?sin(x?图。 设x??并指出它们与y?sinx)和y?sin(x?)的简图，

34??3)的周期为2?，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简

?Z，那么sin(x?)?sinZ，x?Z?

333??2?7?5??、、、、?3?6363。所对应的五点是函数 当Z取0、，?，，2?时，x取322???5??y?sin(x?)，x???,?图象上起关键作用的点。

3?33? 列表：

???x ?3 ?30 0 ?6 x???21 2? 3? 0 sin(x??3) 7? 63? 2－1 5?32?0 1

类似地，对于函数y?sin(x?x ?4?)，可列出下表：

4x?3? 4?4 0 ?21 5? 4? 0 sin(x? 描点作图（如下）

?4) 0 7? 43? 2－1 9?42?0 利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出y?sin(x?。 y?sin(x?)，x?R的简图（图略）

4?3

)，x?R及

? 由图可以看出，y?sin(x??3

)的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有的点向左平行移动

??3个单位而得到的，y?sin(x?)的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有的点向右平行移动

4?4个单位得到的。

注意：一般地，函数y?sin(x??)(??0)的图象，可以看作是把y?sinx的图象上所有的点

向左（当??0时）或向右（当??0时）平行移动|?|个单位而得到的。 推广到一般有：

将函数y?f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后得到函数y?f(x?a)(a?0)的图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。

2、函数图象的横向伸缩变换

2

1y?sinx2的简图，并指出它们与y?sinx图象间的关系。 如作函数y?sin2x及

2?T???y?sin2x2 解析：函数的周期，我们来作x?[0，?]时函数的简图。

?3? 设2x?Z，那么sin2x?sinZ，当Z取0、，?，，2?时，所对应的五点是函数

22Z??3?x?、、?y?sinZ，Z?[0，2?]图象上起关键作用的五点，2，4这里所以当x取0、4、2时，所对应的五点是函数y?sin2x，x?[0，?]的图象上起关键作用的五点。

列表：

x 2x 0 0 0 ?4 ??21 2? 0 sin2x 函数y?sin 列表：

3? 43? 2－1 ?2? 0 1的周期2?xT??4?，我们来作x?[0，4?]时函数的简图。

122x 1x 21sinx 20 0 0 ? ? 21 2? ? 0 3? 3? 2－1 4?2?0 描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出y?sin2x，x?R及

y?sinx0x?R（0）的点的纵坐标同y?sinx2x??x0?sin2(?0)?sin?12时，22上横坐标为x0的点的纵坐标相同（例如，当，

从上图可以看出，在函数y?sin2x的图象上横坐标为

1。 x，x?R的简图（图略）

2sinx0?sin?2?1）。因此，y?sin2x的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有点的横坐标缩

3

1短到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。

1y?sinx2的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 类似地，

（纵坐标不变）而得到的。

注意：一般地，函数y?sin?x(??0且??1)的图象，可以看作是把y?sinx的图象上所有

1点的横坐标缩短（当??1时）或伸长（当0???1时）到原来的?倍（纵坐标不变）而得到的。

推广到一般有：

函数y?f(?x)(??0，??1)的图象，可以看作是把函数y?f(x)的图象上的点的横坐标

1缩短（当??1）或伸长（当0???1）到原来的?倍（纵坐标不变）而得到。

3、函数图象的纵向伸缩变换

如在同一坐标系中作出y?2sinx及y?系。

1sinx的简图，并指出它们的图象与y?sinx的关21 解析：函数y?2sinx及y?sinx的周期T?2?，我们先来作x?[0，2?]时函数的简图。

2 列表：

x sinx 2sinx 1sinx 20 0 0 0 ?21 ? 0 0 0 2 1 23? 2－1 －2 1 ?22?0 0 0 描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到y?2sinx，x?R及

y?1sinx，x?R2的简图（图略）。

从上图可以看出，对于同一个x值，y?2sinx的图象上点的纵坐标等于y?sinx的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而y?2sinx，x?R的值域为［－2，2］，最大值为2，最小值为－2。 类似地，y?11sinx的图象，可以看作是把y?sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的

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