习 题 七

7-1 如图所示，S1O?S2O。若在S1O中放入一折射率为n，厚度为e的透明介质片，求S1O与S2O之间的光程差。如果S1和S2是两个波长为?的同相位的相干光源，求两光在O点的相位差。

[解] S1O与S2O的几何路程相等 光程差为???n?1?e 位相差为???2????2???n?1?e

7-2 一束绿光照射到两相距 0.6mm的双缝上，在距双缝2.5m处的屏上出现干涉条纹。测得两相邻明条纹中心间的距离为2.27mm，试求入射光的波长。

[解] 由杨氏双缝干涉知，?x?所以??

7-3 如图所示，在双缝干涉实验中，SS1?SS2，用波长为?的单色光照S，通过空气后在屏幕E上形成干涉条纹。已知点P处为第3级干涉明条纹，求S1和S2到点P的光程差。若整个装置放于某种透明液体中，点P为第4级干涉明条纹，求该液体的折射率。

?xdD?2.27?10?3D?d

?3?0.60?102.5?5.448?10?7m?5448?

[解] S1和S2到P点的光程差满足??r2?r1?k??3? 整个装置放置于液体中，S1和S2到P点的光程差满足

??n?r2?r1??4?

7-1

n3??4?

所以得到 n?

43?1.33

7-4 如习题7-1图所示，S1和S2是两个同相位的相干光源，它们发出波长?＝5000?的光波，设O是它们中垂线上的一点，在点S1与点O之间的插入一折射率n＝1.50的薄玻璃，点O恰为第4级明条纹的中心，求它的厚度e。

[解] 在O点是第4级明条纹的中心 光程差 ??ne?e?4?

所以 e?4?n?1?4?10 ?

4

7-5 初位相相同的两相干光源产生的波长为6000?的光波在空间某点P相遇产生干涉，其几何路径之差为1.2?10?6m。如果光线通过的介质分别为空气(n1?1)、水(n2?1.33)或松节油(n3?1.50)时，点P的干涉是加强还是减弱。

[解] 折射率为n的介质在P点处光程差为

??n?r2?r1?

介质为空气时，n1?1，则

?1?n1?r2?r1??r2?r1?1.2?10?6m?2?

所以P点处干涉加强。 介质为水时，n2?1.33，则

?2?n2?r2?r1??1.33?1.2?10?6?1.6?10?6m

介于两种情况之间，所以P点光强介于最强与最弱之间。 介质为松节油时，n3?1.50，则

?3?n3?r2?r1??1.5?1.2?10?6?1.8?10?6m?3?

所以P点处干涉加强。

7-6 在双缝干涉实验中，用很薄的云母片(n=1.58)覆盖在双缝的一条上，如图所示。这时屏上零级明纹移到原来第7级明纹位置上。如果入射光波5000?，试求云母片的厚度(设光线垂直射入云母片)。

7-2

[解] 原来的第7级明纹的位置满足r1?r2?7?

加上云母片后，光程差满足r1??r2?e?ne??r1?r2??n?1?e?0 所以 e?

7-7 用单色光源S照射平行双缝S1和S2形成两相干光源。在屏上产生干涉图样，零级明条纹位于点O，如图所示。若将缝光源S移到S?位置，问零级明条位向什么方向移动?若使零级明条纹移回点O，必须在哪个缝的右边插入一薄云母片才有可能?若以波长为5890?的单色光，欲使移动了4个明纹间距的零级明纹移回到点O，云母片的厚度应为多少?云母片的折射率为1.58。

7?n?1?7?50001.58?1?6.03?104 ?

[解] 零级明纹是光程差为0的位置。移动光源后光线2的光程长了，为仍保持光程差为0，必须让1的光程增加以弥补2的增加，只有在下方1才比2长，所以向下。

要回到原点，即通过加片的方法使得1的光程增大，所以在S1上加。 在原点时，两光线的光程差满足???n?1?e?4? 得到 e?4?n?1?4.06?10?6m

7-8 用白光作光源观察杨氏双缝干涉，设缝间距为d，双缝与屏的距离为D，试求能观察到的无重叠的可见光(波长范围： 4000-7600?)光谱的级次。

[解] k级明纹的位置为xk?k?Dd

7-3

要使光谱无重叠，必须满足xk?λmax?≤xk?1?λmin? 因此k?max≤?k?1??min 即 7600k≤400?k?1?

解得 k≤1.1 所以只能看到一级无重叠光谱。

7-9 白色平行光垂直照射到间距为d＝0.25 mm的双缝上，在距缝50cm处放一屏幕，若把白光(4000-7600?)两极端波长的同级明纹间的距离叫做彩色带的宽度，试求第1级和第5级彩色带的宽度。

[解] 每一级的宽度?x?xmax?xmin?kk=1时，?x1?7.2?10?4m?0.72mm k=5时，?x2?3.6?10?3m?3.6mm

7-l0 波长为?的单色光垂直照射在如图所示的透明薄膜上，薄膜厚度为e。两反射光的光程差是多少?

Dd??max??min?

[解]薄膜上下表面的反射光均有半波损失，故没有因半波损失而产生的光程差，因此上下表面反射的光程差为

??2n2e?2.60e

7-11 白光垂直照射在空气中厚度为3.80?10?7m的肥皂膜上，肥皂膜的折射率为1.33，在可见光范围内(4000～7600?) 哪些波长的光在反射中增强。

[解] ??2ne??2?k? 所以??4ne2k?1

当k=1时，?1?4?1.33?3.8?102?1?7?20216?

当k=2时，同理可得?2?6139 ? 当k=3时，同理可得?3?4043 ?

所以在可见光范围内波长为4043 ?和6139 ?的光在反射中增强。

7-12 在观察肥皂膜的反射光时，表面呈绿色(?＝5000 ?)，薄膜表面法线和视线间的

7-4

夹角为450，试计算薄膜的最小厚度。

[解] 两反射光的光程差为

??2en2?n1sin222i??2?k?

k=1时对应薄膜厚度最小为

e?42n2??2n1?5000?10sin2?10i???4??1.332?sin2450???1.12?10??7m

7-13 用波长连续可调的平行光垂直照射覆盖在玻璃板上的油膜，观察到5000 ?和7000 ?这两个波长的光在反射中消失。油的折射率为1.30，玻璃的折射率为1.50。求油膜的厚度。

[解] 某一波长的光在反射中消失，表明光在油膜上下表面反射的光干涉相消，故光程差为??2n2e??2k?1??2

?12对?1： 2n2e??2k1?1?

对?2： 2n2e??2k2?1??22又因?1与?2之间没有其他波长的光消失，故?1与?2的干涉级数只可能相差一级 故k2?k1?1 因此

2k1?12k1?1??2?1?70005000?75

解得 k1?3 k2?2 以k1?3代入得，e??2k1?1??14n25000?104?1.30?10?7?7??6.73?10m

7-14 波长为5500 ?的黄绿光对人眼和照像底片最敏感，要增大照像机镜头对此光的透射率，可在镜头上镀一层氟化镁 (MgF2)薄膜。 已知氟化镁的折射率为1.38，玻璃的折射率为 1.50，求氟化镁的最小厚度。

[解] 要增大波长为?的光的透射率，则须使反射光干涉减弱。那么，光程差应满足

??2n2e??2k?1??2

当k=0时，e最小，为

emin??4n2?5500?104?1.38?10?9.96?10?8m

7-5

7-15 如图所示，用波长为?的单色光垂直照射折射率为n2的劈尖。图中各部分折射率的关系是n1

[解] 因n1

??2n2e??2k?1??2

因棱边为明纹，故从棱边开始向右数第5条暗纹对应上式中k=4 所以e5?

7-16 用波长为?1的单色光垂直照射空气劈尖，从反射光的干涉条纹中观察到劈尖装置的点A处是暗条纹。若连续改变入射光的波长，直到波长为?2 (?2>?1)时，点A再将变成暗条纹。求点 A处空气层的厚度。 [解] 空气劈尖上暗条纹处满足

??2ne??2??2k?1??2k?1??4n2??2?4?1??4n2?9?4n2

?2

?2因n=1，所以2e??2??2k?1?，即2e?k?

在A 处 2eA?k1?1，2eA?k2?2

同一点，e相同，又?2>?1，故k2

因此 eA?k1?12?1?1?22?2??1

7-17 用波长为?的单色光垂直照射到空气劈尖上，从反射光中观察干涉条纹，距顶点

7-6

为L处是暗条纹。使劈尖角?连续慢慢变大，直到该点再次出现暗条纹为止，劈尖角的改变量??是多少?

[解] 空气劈尖干涉暗纹，光程差为??2ek?劈尖角为?时，L处有2ek?1?2??2k?1??2

?2??2k1?1??2

?2劈尖角为????时，有2ek?2?2??2k2?1?

因为劈尖角连续改变，即e连续增大，故k2=k1+1 由上述公式得2?ek?ek???

21又ek?Lsin??L?，ek?Lsin???????L??????

12因此 ????2L

7-18 两块长度为l0cm的平玻璃片，一端相互接触，另一端用厚度为0.004mm的纸片隔开形成空气劈尖。以波长为5000? 的平行光垂直照射，观察反射光的等厚干涉条纹。在全部10cm长度内呈现多少条明纹?

[解] 设平玻璃片长为L ，纸片厚为H，则形成的空气劈尖角为??sin??两相邻明纹间距为l?故总条数为N?Ll?HL

?2sin???2???L2H?10

?32H??2?0.004?105000?10?16

7-19 为测量硅片上氧化膜的厚度，常用化学方法将薄膜的一部分腐蚀掉，使之成为劈形(又称为台阶)，如图所示。用单色光垂直照射到台阶上，就出现明暗相间的干涉条纹，数出干涉条纹的数目，就可确定氧化硅薄膜的厚度。若用钠光照射，其波长?=5893?，在台阶上共看到5条明条纹，求膜的厚度(氧化硅的折射率n2＝1.5，硅的折射率为n3＝3.42)。

[解] 因n1

台阶棱边为明纹，因共看到5条明纹，所以kmax?4，由明纹条件得

7-7

emax?kmax?2n2?2?n2?2?5893?101.5?10?7857?10?10?7857?

7-20 检查平板的平整度时，在显微镜下观察到的等厚条纹如图所示(注意：显微镜成倒像)，条纹的最大畸变量为1.5条纹间距，所用光波波长为546nm，试描述待测平面的缺陷。

[解] 因每一条干涉条纹上对应的空气厚度相同，故在同一条纹上，畸变部分和平行棱边的直线部分所对应的膜厚度相等，本来离棱边越远膜的厚度越大，而现在同一条纹上，远离棱边的畸变部分厚度并不大，这说明畸变部分是凸起的，因最大畸变是为一个半条纹间距，说明最大畸变处膜厚度比非畸变时膜厚度之差?e对应的级数差?k?1.5

由劈尖明纹公式2e?得2?e??k? 所以?e??k?2?1.5?5.46?102?7?2?k?

?4.1?10?7m?0.41μm

7-21 如图所示，A、B是两只块规(块规是两端面经过磨平抛光达到相互平行的钢质长方体)。A的长度是标准的，B是相同规格待校准的。A、B放在平台上，用一块样板平玻璃压住。

(1)设垂直入射光的波长为?=5893?，A、B相隔d＝5cm，T与A、 B间的干涉条纹的间距都是0.55 mm，试求两块规的长度差。 (2)如何判断A、B哪一块比较长些?

(3)如果T与A、B间的干涉条纹间距分别为0.55 mm和 0.3 mm，则说明什么问题?

[解] (1) 劈尖干涉，相邻条纹间距l满足sin??所以A、B两只块规的高度差为

?2l

7-8

?h?dsin??d?2l?5?10?2?5.893?10?1?52?0.5?10?2.94?10?3cm

(2) 因空气劈尖棱边处为暗纹，所以若压平板T，a、c处暗纹位置不变，则B比A长，若压T，b、d处暗纹位置不变，则A比B长。

(3) 设平板T与A、B间形成的劈尖角分别为?1、?2。干涉条纹间距分别为l1和l2，则 l1sin?1?l2sin?2??2

已知l1>l2，则?1

7-22 如图所示的观察牛顿环的装置中，设平球面透镜中心恰好和平玻璃接触，透镜球面的半径R＝400cm，用某单色光垂直入射，观察反射光形成的牛顿环，测得第5个明环的半径是0.30cm

(1)求入射光的波长；

(2)设图中OA＝1.00cm，求在半径为OA的范围内可观察到的明环数。

[解] (1)牛顿环明环半径公式为

2rk??2k?1?R?2，所以??2rk2?2k?1?R

因中心为暗环，对应第5个明环k=5，所以

??2rk2?2?5?1?R?2?0.3?109?400?10?1?R?22?4?2?5000?

(2) 因为rk2??2k，所以k?12?rk2R??12?1.00?10???224?5?10?7?50.5

所以能看到的明环数50个。

7-23 用曲率半径为3.00m的平凸透镜和平板玻璃作牛顿环实验，测得第k级暗环半径为4.24mm，第k+10级暗环的半径为6.0mm。求所用单色光的波长。

[解] 牛顿环暗环半径公式为rk?故 rk?10?2kR?

?k?10?R?

2因此??

rk?10?rk10R?6.01?10?

37-9

7-24 用牛顿环实验测单色光的波长。用已知波长为?1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得第1和第9级暗环的半径之差为l1；用未知单色光照射时测得第l和第9级暗环的半径之差为l2。求单色光的波长?2。

[解] 牛顿环暗环半径公式为rk?对?1 r1?R?1 r9?kR?

9R?1 所以r9?r1?R?1?9?1

?又 r9?r1?l1， 故l1?同理得 l2?因此 ?2?

R?2?2 l22R?1?2

2l1??1

7-25 一平凸透镜放在平板玻璃上，在反射光中观察牛顿环。当?1＝4500?时，测得第3级明环的半径为1.06?10?3m。换用红光，观测到第5级明环的半径为1.77?10?3m。求透镜曲率半径和红光的波长。

[解] 牛顿环明环半径公式为rk2?对?1，k=3时， r32?由此得 ?2?5r5992?2k?1?R?2，

9R?225R?12 对?2，k=5时， r52?22

2r3?1?5?1.779?1.062?10?102?6?6?4500?6971?

由

2r3?5R?12得，R?2r35?1?2?1.06?10?6?65?4500?10?1.00m

7-26 用牛顿环干涉条纹测定凹球面的曲率半径。将已知曲率半径的平凸透镜放在待测的凹球面上，如图所示。在两曲面之间形成空气层，可以观测到环状干涉条纹。测得第4级暗环的半径r4＝2.250cm，

已知入射光的波长?＝5893 ?，平凸透镜的曲率半径R1＝102.3cm，求凹球面的曲率半径R2。

[解] 牛顿环k级暗环条件为 2e??22??2k?1??2 即 2e?k?

由几何关系知 rk2?R12??R1?e1??2R1e1?e12 因为 e1<

7-10

又 e?e2?e1 联立上式得

1R2?1R1?k?rk2

以R1?1.023m，k=4，??5893?10?10m，r4?2.250?10?2m代入得

R2?102.8cm

7-27 在观察牛顿环干涉条纹的实验中，用图(a)、(b)、(c)所示的装置代替平凸透镜和平玻璃组合。试画出反射光中的干涉条纹(只画暗条纹)。

[解]

54321054321054321012345

7-28 用波长为?的单色光源做迈克尔逊干涉仪实验，在移动反光镜M2的过程中，视场中的干涉条纹移过k条，求反射镜移动的距离?

[解] 设反射镜移过的距离为d，则光程差改变量为???2d?k?

所以 d?k?2

7-29 迈克尔逊干涉仪的一臂中放有长为100.0mm的玻璃管，其中充有一个大气压空气，用波长为5850?的光作光源。在把玻璃管抽成真空的过程中，发现视场中有100.0条干涉条纹从某固定点移过。求空气的折射率。

[解] 设空气的折射率为n，在由空气抽成真空的过程中，光程差改变量为

2?n?1?e??k?

7-11

所以 n?1??k?2e?1?100.0?5850?102?100.0?10?3?10?1.00029

7-30 在把迈克尔逊干涉仪的可动反射镜移动0.233mm过程中，数得条纹移动数为792，求所用光的波长。

[解] 设反射镜移动距离为d，则光程差改变??2d?k?

??2d?k?2?0.233?10792?3?5.884?10?10m?5884?

7-31 常用雅敏干涉仪来测定气体在各种温度和压力下的折射率。干涉仪的光路如图所示。S为光源，L为正透镜，G1、G2为等厚且相互平行的玻璃板。T1、T2为等长的两个玻璃管，长度为l。进行测量时，先将T1、T2抽空，然后把待测气体徐徐导入一管中，在E处观察干涉条纹移动数，即可求得待测气体的折射率。设在测量某气体的折射率时，将气体慢慢放入T2管中，从开始进气到标准状态时，在E处共看到有98条干涉条纹移过去。所用的钠光波长?＝5893? (真空中)，l＝20cm。求该气体在标准状态下的折射率。

[解] 设待测气体在标准状态下的折射率为n，则在气体导入前后，两条光路中的光程差改变为 ?n?1?l??k?

?k?l98?5893?1020?10?2?10所以 n?1?

?1??1.0003

7-32 一单缝宽度a?1?10?4m，透镜的焦距f＝0.5m，若分别用?1?4000?和

?2?7600?的单色平行光垂直入射，它们的中央明条纹的宽度各是多少?

[解] 一级暗纹公式为asin?1?? 而?1?sin?1?所以 x1?ftan?1?f?1?f?a?a

2f?a所以中央明纹的宽度为 ?x?2x1?

7-12

对?1： ?x1?2f?1a2f?2a?2?0.5?4?101?10?4?7?4?10?3m

对?2： ?x2??2?0.5?7.6?101?10?4?7?7.6?10?3m

7-33 有一单缝宽a=0.10mm，在缝后放一焦距f=50cm的会聚透镜，用波长?＝5 460 ?的平行绿光垂直照射单缝，求位于透镜焦平面处的屏上的中央亮条纹的宽度。如果把此装置浸入水中，并把屏移动到透镜在水中的焦平面上，中央亮条纹的宽度变为多少?设透镜的折射率n?＝1.54，水的折射率n=1.33。

(提示：透镜在水中的焦距f水?n?n??1?n??nf)

?2?7[解] (1) 中央明条纹的宽度为?x?2f?a?2?50?10?5.46?10?30.10?10?5.46?10?3m

(2) 在水中，透镜焦距为f水?所以中央明条纹的宽度为

?x??2f?na?2?n??1?f??n?n??1?n??nf

2??1.54?1??0.50?5.46?10?7?n??n?a?1.54?1.33??0.1?10?3?1.40?10?2m

7-34 用波长?＝7000?的平行光垂直照射单缝，缝后放一焦距为70cm的正透镜，在透镜焦平面处的屏上测得中央亮条纹的宽度为2.0?10?3m。试计算： (1)单缝的宽度。

(2)当用另一单色光照射时，测得中央明纹的宽度为1.5?10?3m，求此光的波长。 [解]中央明条纹宽度为?x?2f?a

2f??x2?70?10?2(1)由上式可得单缝的宽度为 a?(2)由前式可得光的波长为 ???a?x?2f?4.9?10?4??7?10?3?72?10?4.9?10?4m

?1.5?10?2?32?7?10?5.25?10?7m?5250?

7-35 用平行光管把某光源发出的单色光变成平行光后垂直照射在宽度为0.308mm的单缝上。用焦距为12.62cm的测微目镜测得中央明条纹两侧第5级暗条纹之间的距离为?x＝2.414mm。求入射光的波长。

[解] 单缝衍射暗纹中心到中央亮纹中心距离为 x?kf?a

7-13

k=5时，x5?5f?a

10f?a?3两侧第5级暗纹之间的距离为?x?2x5?所以 ??a?x10f0.308?10?3

??2.414?10?210?12.62?10?5892?

7-36 用波长?＝6328?的氦-氖激光垂直照射单缝，其夫琅禾费衍射图样的第1级极小的衍射角为50。试求单缝的宽度。

[解] 单缝衍射暗纹条件为asin??k? 当k=1时，asin???

所以a??sin???? 式中 ???75180?6?grad

所以 a?6.328?105??180?7.25?10m

7-37 在正常照度下，人眼瞳孔的直径约为2mm，人眼最敏感的波长为5500?。眼前250mm(明视距离)处的点物在视网膜上形成爱里斑的角半径是多少?明视距离处能够被分辨的两物点的最小距离是多少?(前房液和玻璃状液的折射率n=1.33)

[解] (1) 因人眼中玻璃状液体的折射率为n，为1.337，所以波长变为???在视网膜上形成爱里斑的角半径为

??1.22??d?1.22?n

?nd?1.22?5.5?10?7?31.337?2?10?2.51?10?4rad

(2) 人眼的最小分辨角 ?min?1.22?d

设在距离L处能分辨的最小距离为D，则

D?1.22?Ld?1.22?5.5?102?10?7?3?25?10?2?8.4?10?5m

7-38 已知天空中两颗星对一望远镜的角距离为4.84?10?6rad，设它们发出光的波长为5500?。望远镜的口径至少要多大才能分辨出这两颗星。

[解] 设望远镜孔径为D，当两星对望远镜的角距离大于其最小分辨角时方可分辨，即

4.84?10?6≥1.22??D

5.5?104.84?10?7?6所以 D≥1.22

4.84?10?6?1.22??13.8cm

7-39 月球距地面约3.86?105km，设月光按?＝5500?计算，问月球表面上距离多远

7-14

的两点才能被直径为5.00m的天文望远镜所分辨。

[解] 设月球上两物点距离为d，其对望远镜张角大于最小分辨角时，则能分辨该两点

即 所以 d≥

7-40 用波长为?＝5893?的钠光垂直照射光栅，测得第2级谱线的衍射角?2?10011?，而用待测波长的单色光照射时，测得第一级谱线的衍射角?1?4042?。试求光栅常数和待测光的波长。

[解] 光栅方程为 ?a?b?sin??k? 对?1有 ?a?b?sin?1??1 对?2有 ?a?b?sin?2?2?2 由上两式得 ?1?2sin?1sin?22?sin442?sin1011?00?7dL≥1.22??D

?71.22?LD1.22?5.5?10?3.86?1065.00?0.518m

?2??5.893?10?5464?

将?1的数值代入得 a?b?6.67?10?6m

7-4l 一块每毫米刻痕为500条的光栅，用钠黄光正入射，钠黄光中含有两条谱线，其波长分别为5896?和5890?。求在第2级光谱中这两条谱线分开的角度。

[解] 光栅常数为 a?b?1?10500?3?2?10?6m

??2?2 由光栅方程可得 ?a?b?sin?2?2?1 ?a?b?sin?2??arcsin?因此得到 ????2??2?2?1??2?2???arcsin?? a?ba?b?????7?2?5.896?10?arcsin??6? 2?10??0.0430??2?5.890?10???arcsin?6??2?10???7??? ?

7-42 一单色平行光投射于衍射光栅，其入射方向与光栅法线夹角为?，在和法线成110和530的方向上出现第1级光谱线，并且位于法线的两侧。求?角的大小。为什么在法线的一侧能观察到第2级谱线，而另一侧却没有?

[解] (1) 斜入射时，零级主极大在透镜的与入射光线平行的副光轴方向上。53角的衍射光线和入射光线分别在法线两侧，此衍射角应取负值，而11衍射角应取正值，所以两个

7-15

00第一级光谱线对应的方程分别为?a?b??sin??sin530???? (1)

?a?b??sin??sin110???? (2) 因此求得 sin??0.3039 ??17.70

(2) 设图中上下方衍射角为90时对应极大的级数分别为k和k? 对上方有 ?a?b??sin17.70?sin900???k? (3) 对下方有 ?a?b??sin17.70?sin900??k?? (4) 由 (1)、(3) 式相除，得 k?由 (2)、(4) 式相除，得 k??sin90000?sin17.700000sin53?sin17.7sin900?1.4 ?2.64

?sin17.7sin11?sin17.7由上面结果知，只有下方可观察到第二级谱线。

7-43 一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为a?2?10?3cm，在光栅后放一焦距为f＝1.0m的凸透镜。现以?=6 000?单色平行光垂直照射光栅，试求： (1)透光缝的单缝衍射中央明条纹宽度；

(2)在该宽度内有几个光栅衍射主极大?

[解] (1) 单缝衍射第一极小满足 asin??? (1)

??sin??中央明纹宽度为

?x?2ftan??2f??2f?a

?a?2?1.0?6?102?10?7?5?6?10?2m

(2) 设该范围内主极大最大级数为k，则?a?b?sin??k? (2) 由 (1)、(2)式有 k?a?ba?1?10?2?2200?2?10?2.5

所以在此范围内能看到主极大的个数是2k+1=5个。

7-44 试指出光栅常数(a+b)为下述三种情况时，哪些级数的光谱线缺级？(1)光栅常数为狭缝宽度的两掊，即(a+b)＝2a； (2)光栅常数为狭缝宽度的三倍，即(a+b)＝3a；(3)光栅常数为狭缝宽度的2.5倍，即(a+b)＝2.5a。

[解] k级缺级的条件为k?a?bak? ?k???1,?2,?3??

(1) ?a?b??2a时，k?2k?，凡偶数级都缺级。 (2) a?b?3a，k?3k?，凡被3整除的级数都缺级。

7-16

(3) a?b?2.5a，k?2.5k?，凡被5整除的级数都缺级。

7-45 波长?＝6000?的单色光垂直入射到一光栅上，测得第2级主极大的衍射角为300，且第3级缺级。(1)光栅常数(a+b)是多大？(2)透光缝可能的最小宽度是多少？(3)在屏幕上可能出现的主极大的级次是哪些。

[解] (1) 由光栅方程得 ?a?b?sin300?2? 所以 a?b?2?sin300?4??2.4?10a?ba?6m

(2) 当k级缺级时，满足 k?所以 a?a?bkk?

k?

当k??1时，缝宽a最小，为 a?a?bk?2.4?103?6?8?10?7m

(3) 在屏幕上呈现的主极大的级数由最大级数和缺级情况决定。 因为?a?b?sin??k?

a?b2.4?106?10?6kmax<

???7?4 因此 kmax=3

又因k=3缺级，所以在屏上可能出现的级数为 k?0,?1,?2

7-46 每厘米刻有400条刻痕的光栅，其透光缝a?1?10?5m，用波长为?＝7000?的光垂直照射在屏幕上可观察到多少条明条纹?

[解] 光栅常数 a?b?1?10400?2?2.5?10?5m

?a?b?sin??k?

a?b2.5?107?10?5kmax<

???7?35.7 因此kmax=35

缺级条件 k?a?bak??2.5?101?10?5?5k??2.5k?

355?7

所以 凡能被5整除的级数都缺级，共缺级个数为N?? 因此，光栅衍射在屏上呈现明条纹总数为 N?2??35?7??1?57

7-47 以白光(波长范围4000～7600?)垂直照射光栅，在衍射光谱中，第2级和第3级发生重叠。求第二级被重叠的范围。

[解] 最小波长和最大波长分别为?1?4000 ? ?2?7600 ?

7-17

第3级光谱中，?1主极大的位置与第2级某一波长?的主极大位置相同时，开始重叠，由光栅方程可求此波长 ?a?b?sin??2? ?a?b?sin??3?1

因此 ??32?1?32?4000?6000?

故，第2级光谱中被重叠的光谱波长范围为 ??6000?~7600 ?

7-48 用两米光栅摄谱仪拍摄氢原子光谱，在可见光范围内有四条谱线，如图所示。光栅上每厘米有4000条缝，光栅后的正透镜的焦距为2.00m，在其焦平面上放一照相底片，求四条谱线在底片上的间距。

[解] 光栅常数为 a?b?1?104000?2?2.5?10?6m

对第一条谱线(k=1)，应用光栅方程，为?a?b?sin??? 对H?，?1?6.563?10?7m，在底片上位置为

?arcsi?n x?ftan??ftan?????1???0.5374m ????a?b??同理可得H?,H?,H?三条谱线在照像底片上的位置分别为

x2?0.3926m x3?0.3526m x4?0.3327m

因此 H?与H?之间的间距为?x1?14.5cm 同理可得?x2?4.0cm ?x3?1.99cm

7-49 用白光照射每毫米50条刻痕的光栅，在距光栅2m的屏幕上观察到各色光谱，设可见光的上限波长(红光)?γ＝7800 ?，下限波长(紫光) ?ν=4000 ?，试计算屏幕上第1级光谱的宽度。

[解] 第一级谱线满足 ?a?b?sin???

7-18

屏幕上红光谱线的位置为 x1?f??f紫光谱线的位置为 x2?f???f?νa?b?γa?b

fa?b所以第一级光谱的宽度为 ?x?x1?x2???γ??ν?3.8?10??2m

7-50 一光源发射红双线在波长?＝6563 ?处，两条谱的波长差??＝1.8 ?。有一光栅可以在第1级中把这两条谱线分辨出来，求光栅的最少刻线总数。

[解] 光栅的分辨率为 R?所以 N????k?65631.8?1????kN

?3646.1

即光栅最少刻线总数为3647条。

7-51 一光栅宽为6cm，每厘米有6000条刻线，在第三级光谱中，对?＝5000 ?处，可分辨的最小波长间隔是多大?

[解] 光栅的总缝数为 N?6000?6?36000

因为光栅的分辨本领为

???????kN

?kN?50003?36000?0.046?

7-52 一束波长为2.96 ?的X射线投射到晶体上，所产生的第1级衍射线偏离原入射线方向3107?，求对应此射线的相邻两原子平面之间的距离。

[解] 设掠射角为?，衍射线偏离入射线的角度为?，则??由布拉格方程 2dsin??k? 得相邻两原子平面间距为

d?k?2sin??k?2sin?2?5.52?

?2

7-53 以波长为1.10?的X射线照射岩盐晶面，测得反射光第1级极大出现在X射线与晶面的夹角为11030'处。问：(1)岩盐晶体的晶格常数d为多大?(2)当以另一束待测的X射线照岩盐晶面时，测得反射光第一级极大出现在X射线与晶面的夹角为17030'处，求待测X射线的波长。

[解] (1) 由布拉格方程 2dsin??k? ，所以 d?(2) 由布拉格方程得待测X射线的波长为 ??2dsin??2?2.76?sin17.50?1.66 ?

7-19

k?2sin??1.102sin11.50?2.76?

7-54 一束部分偏振光垂直入射于一偏振片上，以入射光为轴旋转偏振片，测得透射光强的最大值是最小值的5倍。求部分偏振光中自然光与线偏振光强度之比。

[解] (1) 设入射光的光强为I0，两偏振片的偏振化方向平行时透射光光强最大 为 Im?12I0

12I0cos2对第一种情况由马吕斯定律得 所以 cos2??1313??13Im?13?12I0

即 ??arccos?54.7

121300(2) 对第二种情况，由马吕斯定律得

232I0cos???I0

得到 cos2???

即 ??arccos23?35.3

7-55 两偏振片A、B的透振方向成45角，如图所示。入射光是线偏振光，其振动方向和A的透振方向相同。试求这束光线分别从左边入射和从右边入射时，透射光强之比。

[解] 设从左右两边入射时透射光强分别为I1和I2 由马吕斯定律得从左边入射时透射光强为

I1?I0cos20450?12I0

14I0

从右边入射，则 I2?I0cos2450?cos2450?所以入射光从左右两边入射，透射光强之比为

I1:I2?2:1

7-56 三个理想偏振片P1、P2、P3叠放在一起，P1与P3的透振方向互相垂直，位于中间的P2与P1的透振方向间的夹角为300。强度为I0的自然光垂直入射到P1上，依次透过P1、

P2和P3。求通过三个偏振片后的光强。

[解] 通过P1后：I1?12I0

38I0

通过P2后：I2?I1cos2300?7-20

通过P3后：I3?I2cos2600?332I0

7-57 一束太阳光以某一入射角入射于平面玻璃上，这时反射光为完全偏振光。若透射光的折射角为320，试求：(1)太阳光的入射角；(2)这种玻璃的折射率。

[解] 因反射光为完全偏振光，所以入射角为布儒斯特角，则 i0?r?900 i0?900?r?900?320?580

由布儒斯特定律得 n?tani0?tan580?1.60

7-58 光从介质1射向介质2时的临界角是600。布儒斯特角是多大? [解] 由光的折射定律得 n1sin60 所以

n2n1?sin6000?n2sin90

0?32

由布儒斯特定律 tani0?由此得i0?40.9?

n2n1?32

7-59 如图所示的各种情况中，以线偏振光或自然光入射于两种介质的界面上。图中i0为起偏振角， i?i0。试画出折射光线和反射光线并标出它们的偏振状态。

[解] 折射光和反射光及其偏振状态如下图

iii0

7-21

i0i0无

7-60 如图(a)所示，一束自然光入射在方解石的表面上，入射光线与光轴成锐角，问有几条光线从方解石透射出来?如果把方解石切割成等厚的A、B两块，并平行地移动一点距离，如图(b)所示，此时光线通过这两块方解石后，有多少条光线射出来?如果把B绕入射光线转过一个角度，此时将有几条光线从B射出来?

[答] (1)因入射光不沿光轴方向，也不垂直于光轴，所以在方解石中产生双折射现象，有两条光线透射出来。

(2)在A中为O光的光线射出来入射到B，入射面就是B中O光的主平面，因此光线通过B后，只有一条光线射出，同理，在A中为e光的光线通过B后也有一束光线射出，所以从B中透射出来的仍是两束光。

(3)当把B任意转过一角度时，A中的O光和e透射出来入射到B中，各自在B中又发生双折射现象，每条光线在B中又分为O光和e光，因此，总共有四条光线从B中射出。

7-61 如图所示，一束自然光入射到一方解石晶体上，其光轴垂直于纸面。已知方解石o光的折射率n0＝1.658，对e光的折射率为ne?1.486。(1)如

果方解石的厚度为t＝1.0 cm，自然光的入射角i?450，求a，b两透射光之间的垂直距离；(2)两透射光的振动方向如何?哪一束光在晶体中是o光?哪一束光在晶体中是e光?

[解](1)有折射定律得： n0sinr0?sini (1) n0sinr0?sini (2)

re?tanr0) (3) 设AB?L,BC?d,则 L?t(tan 由于 ?ABC?i，所以 d?Lcosi (4)

由(1)、(2)、(3)、(4)联立得 sinr0?sinin0?sin451.65800?0.43

r0?25.2 sinre?0sin451.4680?0.48

0re?28.4 L?1.0?(tan28.4?tan25.2)?0.07cm

7-22

d?0.07?cos450?0.05cm

即a、b两光线的垂直距离为0.05cm。 (2)两透射光的振动方向见图。 (3) a为e光，b为o光。

7-62 设方解石对钠黄光 (??5803?)和氦氖激光(?2?6328?)的主折射率相同，把方解石切割成对上述两光的四分之一波片，其最小厚度各是多少? n0?1.6584，ne?1.4864。

[解] 设最小厚度分别为e1和e2，依题意有 e1(n0?ne)?所以e1??14(n0?ne)?14 e2(n0?ne)?5.893?10?7?24

?7?4?(1.658?1.486)6.328?10?7?8.565?10m

e1??24(n0?ne)?4?(1.658?1.486)?9.918?10?7m

7-63 设石英的主折射率n0和ne与波长无关。某块石英片对波长8000?的光是四分之一波片。当波长4000?的线偏振光入射到该晶片上，其光矢量振动方向与晶片光轴成450

角时，透射光的偏振状态是怎样的?

[解] 对波长为8000?的1/4波片，则对波长为4000?的光为1/2波片，线偏振光经过此晶片后，振动方向垂直的o光和e光，两者位相差为???Ae?Acos45 Ao?Asin45

002????2??两者振幅为

所以A0?Ae,它们叠加后形成线偏振光，其振动方向与入射线偏振光的振动方向垂直。

7-64 一块厚度为1.0?10?5m的方解石晶片，其主折射率之差为(n0?ne)?0.172，对各种波长的光均相同。当把该晶片插入透振方向相互垂直的两偏振片之间时，在可见光范围内，哪些波长的光看不见?

[解] 由偏振光干涉减弱条件，有

(n0?ne)d?k?， k?0,1,2?

?min?4000? ?max?7600?， 所以 kmax?(n0?ne)d0.172?104?10?7?5?min??4.3

7-23

kmin?(n0?ne)d?max?0.172?107.6?10?5?7?2.3

所以当k取3和4时，对应波长的光看不到，当k=3时， ??k=4时，??(n0?ne)d3(n0?ne)d4??0.172?10314?5?5733?

?5?0.172?10?4300 ?

7-65 试求使波长为5 090 ?的线偏振光的振动面旋转1500的石英晶片的厚度。石英对

0

这种波长的旋光率为29.6／mm。

[解] 由旋光知识可知：???d

所以 d?

???1500029.7mm?5.05mm

7-24