第6讲 几何概型
一、选择题
1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为( ) 4A.5
3B.5
2C.5
1 D.5
解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的3
概率为P＝5. 答案 B
2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆1
中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是3，则阴影部分的面积是( ) πA.3
B.π
C.2π
D.3π
解析 设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，S1
得＝3，则S＝3π. S′答案 D
?1?
3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log1?x＋2?≤
??21”发生的概率为( ) 3A.4
2 B.3
1 C.3
1 D.4
11?1?
x＋??解析 由－1≤log1≤1，得2≤x＋2≤2， ?2?23?1?
解得0≤x≤2，所以事件“－1≤log1?x＋2?≤1”发生的
??2323
概率为2＝4，故选A.
答案 A
4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
πA.2
π B.4
π C.6
πD.8 阴影面积长方形面积
＝
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝12π×1π2
＝4. 1×2答案 B
5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( ) πA.12
πB.1－12
π C.6
πD.1－6 解析 设“点P到点O的距离大于1”为事件A.
则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部. 412
∴V正方体＝23＝8，V半球＝3π·13×2＝3π.
223－3π23π＝1－. 12
∴P(A)＝
答案 B
6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为( ) 1A.6
1B.3
1C.2
2 D.3 解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4
时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三1＋21
角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为6＝2. 答案 C
?0≤x≤2，
7.设不等式组?表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则
?0≤y≤2此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) πA.4
π－2B.2
πC.6
4－π D.4
解析 如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因4－π
此满足条件的概率是4.故选D. 答案 D
8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为( ) 1A.4
3 B.16
9 C.16
3 D.4
解析 由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.
易知A(4，2)，S正方形＝16，
（2＋4）×4S阴影3
S阴影＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝. 2S正方形4
答案 D
9.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，1
使得VP－ABC＜2VS－ABC的概率是( ) 7A.8
3B.4
1 C.2
1 D.4
3
解析 当点P到底面ABC的距离小于2时， 1
VP－ABC＜2VS－ABC.
?1?37
由几何概型知，所求概率为P＝1－?2?＝8.
??答案 A
10.设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( ) 31
A.4＋2π
11B.2＋
π
11 C.2－
π
11D.4－
2π
解析 因为复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝（x－1）2＋y2≤1，即(x－1)2＋y2≤1，
即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y≥x
表示直线y＝x左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆
121·π·1－2×1×1
4
π·12
11＝4－.
2π
的面积之比，即P＝答案 D 二、填空题
5
11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为6，则m＝________.
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
2m5
当m≤2时，由题意得6＝6，解得m＝2.5，矛盾，舍去.