＝4x3－240x2＋3600x． ………………… 10分
当且仅当a＝b＝60时等号成立． 设f (x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)． 则f ′ (x)＝12(x－10)(x－30)．
于是当0＜x＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增；
当10＜x＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．
因此当x＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a＝b＝60，x＝10．
答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．
……………… 14分
18．（本小题满分16分）
x2y2b24e2解：（1）因为椭圆 ＋2＝1经过点(b，2e)，所以＋2＝1．
8b8b
c2c2b2c2
因为e＝2＝，所以＋2＝1．
a882b
2
b28－b
因为a＝b＋c，所以 ＋2＝1． …………………… 2分
82b
2
2
2
2
整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ．
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1． …………………… 4分
84（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
k(x－1)，??y＝22
联立直线l与椭圆方程 ?xy
＋＝1，?84?消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
4k2
x1＋x2＝2， 2k＋1
所以 ……………… 6分
2k2－8x1x2＝2． 2k＋1
???
因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx， kx，??y＝22
联立直线MN与椭圆方程?xy
＋＝1，??848
消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝2．
2k＋1因为MN∥l，所以
AT·BT(1－x1)·(x2－1)
＝． …………………… 8分 MN 2(xM－xN)2数学试卷 第 9 页 共 16 页
7
因为 (1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝2 ，
2k＋1
32
(xM－xN)2＝4x2＝2，
2k＋1
2
AT·BT(1－x1)·(x2－1)72k＋17所以 ＝＝2·＝． ………………… 10分
MN 232(xM－xN)22k＋132
（3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，
→→
从而 AP＝(－x1,－k－y1)， TB＝(x2－1，y2)．
222→2→
因为 AP＝TB，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝．…………………… 12分
5555
?由(2)知， ?
????
4k2
x1＋x2＝2，
2k＋1
2k2－8x1x2＝2．
2k＋1
4k2
x1＋x2＝2， 2k＋1－4k2＋216k2－2
由解得 x1＝，x＝． ……………… 14分
223(2k2＋1)23(2k2＋1)x1＋x2＝，
552k2－8－4k2＋216k2－22k2－8
因为x1x2＝2， 所以 ×＝，
2k＋13(2k2＋1)3(2k2＋1) 2k2＋117
整理得 50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－ (舍) ．
50
又因为k＞0，所以k＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）
解：（1）当a＝e时，f (x)＝ex－ex－1．
① h (x)＝f (x)－g (x)＝ex－2x－1，h′ (x)＝ex－2． 由h′ (x)＞0得x＞ln2，由h′ (x)＜0得x＜ln2．
所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．
………………… 3分
② f ′ (x)＝ex－e．
当x＜1时，f′ (x)＜0，所以f (x)在区间(－∞，1)上单调递减； 当x＞1时，f′ (x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
1° 当m≤1时，f (x)在(－∞，m]上单调递减，值域为[em－em－1，＋∞)，
g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)，
因为F(x)的值域为R，所以em－em－1≤(2－e)m， 即em－2m－1≤0． （*）
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由①可知当m＜0时，h(m)＝em－2m－1＞h(0)＝0，故（*）不成立．
因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0， 所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1． ………………… 6分 2° 当m＞1时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，
所以函数f (x)＝ex－ex－1在(－∞，m]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)． 因为F(x)的值域为R，所以－1≤(2－e)m，即1＜m≤综合1°，2°可知，实数m的取值范围是[0，（2）f ′ (x)＝ex－a．
若a≤0时，f ′ (x)＞0，此时f(x)在R上单调递增． 由f(x1)＝f(x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，
所以a＞0，且f(x)在(－∞，lna]单调递减，在[lna，＋∞)上单调递增．
…………………… 11分 若x1，x2∈(－∞，lna]，则由f (x1)＝f (x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾， 同样不能有x1，x2∈[lna，＋∞)．
不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2．
因为f(x)在(x1，lna)上单调递减，在(lna，x2)上单调递增，且f (x1)＝f (x2)， 所以当x1≤x≤x2时，f (x)≤f (x1)＝f (x2)． 由0≤x1＜x2≤2，且|x1－x2|≥1，可得1∈[x1，x2]，
故f (1)≤f (x1)＝f (x2)． …………………… 14分 又f (x)在(－∞，lna]单调递减，且0≤x1＜lna，所以f (x1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．
?e－a－1≤0，即?解得e－1≤a≤e2－e－1， 2
?e－a－1≤e－2a－2，
1
． e－2
1
]． ………………… 9分 e－2
所以 e－1≤a≤e2－e． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）
解：（1）因为{an}是公差为2的等差数列，
Sn所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1， …………………… 2分
na1＋2n＋a1＋2(n＋1)
从而 (n＋2) cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，即cn＝1． ……… 4分
2
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Sn
（2）由(n＋1)bn＝an＋1－，
n
得n(n＋1) bn＝nan＋1－Sn，
(n＋1)(n＋2) bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，
两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2) bn＋1－nbn． ……………………… 6分 an＋1＋an＋2Sn an＋1＋an＋2
从而 (n＋2) cn＝－＝－[an＋1－(n＋1) bn]
2n2
＝＝
an＋2－an＋1
＋(n＋1) bn 2(n＋2) bn＋1－nbn
＋(n＋1) bn
2
1
＝(n＋2)( bn＋bn＋1)． 2
1
因此cn＝( bn＋bn＋1)． ……………………… 9分
21
因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，
2
故bn＝λ，cn＝λ． ……………………… 11分 Sn
所以 (n＋1)λ＝an＋1－， ①
n
1Sn(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－， ②
2n1
②－①，得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．
2
故an＋1－an＝2λ (n≥2)． ……………………… 14分 S1又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ (n≥1)．
1
所以数列{an}是等差数列． ……………………… 16分
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