【解析】先构造函数f1?x??f?x??12x，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式2f(x)?1?f(1?x)?x，解得x0取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出a的2范围，即得最小值. 【详解】

由f??x??f?x??x，令f1?x??f?x??212x， 2则f1?x?为奇函数，当x?0时，f1??x??f??x??x?0， 所以f1?x?在???,0?上单调递减， 所以f1?x?在R上单调递减， 因为存在x0??xf?x?????1?f?1?x??x?， 2?所以f1?x0??f1?1?x0?， 所以x0?1?x0，即x0?1. 2因为x0为函数g?x?一个不动点， 所以g?x??x在x?1时有解， 2x令h?x??g?x??x?e?ex?a,x?因为当x?1， 211时，h??x??ex?e?e2?e?0， 2所以函数h?x?在x????,?时单调递减，且x???时，h?x????，

2??1??1?1?h?e?e?a?0，得a?e. 所以只需??22?2?【点睛】

本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属难题.

三、解答题

17．已知函数f?x??(I)求a的值;

13x?ax?1(a?R)，f??x?是f?x?的导函数， 且f??2? ?0. 33]上的最值. (II)求函数f?x?在区间[?3，第 9 页 共 17 页

【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）最大值为【解析】(I)求出f?x??求解.

1913，最小值为?. 3313x?ax?1(a?R)的导函数f??x?，把f??2? ?0代入即可3(II)利用导数求出函数的单调区间即可求出最值. 【详解】

Qf?x??解: (I) 13x?ax?1(x?R)， 3? f??x??x2?a Qf??2? ?4?a?0,

?a?4

(II) 由(I)可得:f?x??13x?4x?1,f??x??x2?4， 32令f??x??x?4?0，解得x??2，列出表格如下:

x (??,?2) ? ?2 ??2,2? ? 2 0 (2,??) ? f??x? 0 f?x?

Z 19极大值 ] 3极小值13? 3Z Qf??3??4?又 1913,f?3???2?? 331913，最小值为? 333]区间上的最大值为所以函数f?x?在[?3，【点睛】

本题主要考查导函数求函数的最值、极值，属于基础题. 18．计算：（1）

?C2100973?C100； ??A101333（2）C3?C4?????C10；

75An?An?89. （3）5An第 10 页 共 17 页

【答案】（1）

1（2）330（3）n?15 6233mm?1m?1【解析】（1）由Cn?Cn?Cn?1，可得C100?C100?C101代入可求得答案. mm?1m?1（2）由Cn?Cn?Cn?1,可得

43333334C4?C4?C5?????C10?C54?L?C10?C64?C6?????C10?C11，从而得出答案.

（3）利用排列数的公式有

75An?Ann(n?1)(n?2)L(n?6)?n(n?1)(n?2)L(n?4)?，化简得到方程，可求5Ann(n?1)(n?2)L(n?4)出答案. 【详解】 解：（1）原式?C（2）原式

4333333?C4?C4?C5?????C10?C54?L?C10?C64?C6?????C10434?????C10?C10?C11?330；

?2100?C3100??A3101?C31013A101133?A?3?A101?1?A3?；

A363101（3）原式

?n(n?1)(n?2)L(n?6)?n(n?1)(n?2)L(n?4)?(n?5)(n?6)?1n(n?1)(n?2)L(n?4)?n2?11n?29?89，

化简得n2?11n?60?0，解得n?15，或n??4（舍），故方程的解是n?15. 【点睛】

mm?1m?1本题考查排列组合数的个数的应用，公式Cn?Cn?Cn?1的应用，属于基础题.

19．设函数f?x??xekx?k?0?.

（1）求函数f?x?的单调区间；

（2）若函数f?x?在区间??1,1?内单调递增，求k的取值范围. 【答案】（1）当k?0时，增区间为??1??1??,???，减区间为???,??，当k?0时，

k??k??增区间为???,???1??1??,??，减区间为???； （2）??1,0?U?0,1?

k??k?第 11 页 共 17 页

【解析】（1）求得函数的导数f'?x??ekx?kx?1?，分类讨论求得f'?x??0和

f'?x??0的解集，即可得到函数的单调区间；

（2）把函数f?x?在区间??1,1?内单调递增，转化为x???1,1?时，e成立，

令h?x??kx?1，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】

（1）由题意，函数f?x??xekxkx?kx?1??0恒

?k?0?，则f'?x??ekx?kx?1?，

令f'?x??0，即kx?1?0，即kx??1， 当k?0时，解得x??1?1?，即函数f?x?在??,???单调递增； k?k?1?1?，即函数f?x?在???,??单调增；

k?k?当k?0时，解得x??令f'?x??0，即kx?1?0，即kx??1， 当k?0时，解得x??1?1?，即函数f?x?在???,??单调递减；

k?k?当k?0时，解得x??综上所述，

1?1?，即函数f?x?在??,???单调递增； k?k?当k?0时，函数f?x?的增区间为??1??1??,???，减区间为???,??，

k??k??1???1???,?fx当k?0时，函数??的增区间为??，减区间为??,???.

k???k?（2）由函数f?x?在区间??1,1?内单调递增，即当x???1,1?时，f'?x??0恒成立， 即当x???1,1?时，ekx?kx?1??0恒成立，

令h?x??kx?1，即当x???1,1?时，h?x??kx?1?0恒成立，

??h??1???k?1?0由一次函数的性质，可得?，解得?1?k?1，又k?0，

h1?k?1?0????而当k?1或k??1，函数f?x??xekx?k?0?均不是常函数，

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