全国名校高中数学优质课时训练（附详解）

抛物线方程及性质的应用

(45分钟 70分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( ) A.

B.[-2,2]

C.[-1,1] D.[-4,4]

【解析】选C.抛物线y2=8x的准线为x=-2,Q(-2,0), 设l:y=k(x+2), 联立

得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0, 当k=0时有解,

当k≠0时,Δ≥0,解得-1≤k<0或0

2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 ( ) A.y2=x B.x2=3y C.x2=y D.y2=3x

【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解. 【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.

3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 ( )

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A. B. C. D.3

【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为

,

当m=时,取得最小值为.

【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0, 由

消去y得,3x2-4x-m=0,

由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-. 所以l的方程为4x+3y-=0.

因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=

=.

4.已知正三角形AOB的一个顶点O是坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积等于4( ) A.y2=

x B.y2=

x

,则抛物线的方程是

C.y2=4x D.y2=8x

【解析】选A.设点A(xA,yA)(yA>0),B(xB,yB)(yB<0), 由于△AOB为正三角形,所以所以xA=

yA,

,

x. =,

又S△AOB=×(2yA)·xA=4所以xA=2

,yA=2,代入方程得y2=

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5.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则

= ( )

A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0), 右焦点为(c,0),依题意得由b2=a2-c2=16-4=12, 所以椭圆E的方程为+=1, 因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2, 将x=-2代入到+=1,解得y=±3, 可得A(-2,3),B(-2,-3),故

=6. 解得a=4,

6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )

A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2

【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:

①-②得,

(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2). 又因为y1+y2=4,所以

===k=1,所以p=2.

所以所求抛物线的准线方程为x=-1.

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7.(2017·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 ( )

A.8 B.6 C.4 D.10 【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 易知直线方程为y=x+1,

直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0, 所以x1+x2=4,x1x2=-4, 所以弦长l=

=8.

8.(2017·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 ( ) A. B. C.1 D.2

【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1, 过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1, 设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1, 则|MM1|=

.

|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点), 即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6, 2|MM1|≥6,|MM1|≥3, 故M到x轴的距离d≥2. 【拓展延伸】“两看两想”的应用

与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问

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