解 （1）在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为

E0?电容为 C0?U0 d?0Sd

?0SU0212 静电能量为 We0?C0U0?22d当插入金属板后，电容器中的电场为 E?U0

d??d2?0SU021?U0? 此时静电能量和电容分别为 We??0??S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0S C?2?

U0d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为

?C?C?C0??0Sd??d??0Sd?

?0S?dd(d??d)

?We?We?We0??0SU02?d2d(d??d)（2）在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 E0??q? ?0?0Sq2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E

S d q 再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q

? ?0 ?S ?q ) 题3.37图(b q

??S??0(S??S)qd 两极板间的电位差位 U?Ed???S??0(S??S)于是得到极板间的电场为 E?11q2d 此时的静电能量为 We?qU?22??S??0(S??S) ??S??0(S??S) 其电容为 C?d(???0)?S 故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?d(???0)q2d1?We??

2?0S[??S??0(S??S)]3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解

决。

2（1）证明：有源区E的微分方程为?E???t，?t????P； ?0（2）证明：E的解是 E?????td?? ?4??0?R12解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(?gE)??E?0 又 ?gE?1?0?(???P)??t2?E??故得到

?0?0??t2?E?（2）在直角坐标系中的三个分量方程为

?01??t1??t1??t22?2Ex??E??E? ，，yz?0?x?0?y?0?z其解分别为

?0?g(D?P)?1(???P)

1??td?? ?4??0?R?x?11??tEy??d?? ?4??0?R?y?11??tEz??d?? ??4??0?R?zEx??1故 E?exEx?eyEy?ezEz? ???t??t???t1??t1??d?? [e?e?e]d??xyz?????4??0?R4??0?R?x?y?z13.39 证明：???(??tR???t)??t??()???t3? ，所以 RRRRR?t???t???tR?????()d????t3d???d??4??0E??d?? ?RR???R?R???td????4??0E 由题3.38(2)可知 ??R?t故 ???()d????4??0E?4??0E?0

R?解 由于 ??(

?t)d???0 R1???t四章习题解答

4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为

① ?(0,y)??(a,y)?0 ② ?(x,0)?0

③ ?(x,b)?U0

根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为

?(x,y)??Ansinh(y n?1?n?yn?x)sin() aab o U0 由条件③，有

a 题4.1图

U0??Ansinh(n?1?n?bn?x)sin() aa

ax 两边同乘以sin(

n?x)，并从0到a对x积分，得到 aa2U0n?xAn?sin()dx? ?asinh(n?ba)0a2U0(1?cosn?)?n?sinh(n?ba)4U0?,n?1,3,5,L? ?n?sinh(n?ba)?0，n?2,4,6,L?1n?yn?xsinh()sin() ??n?1,3,5,Lnsinh(n?ba)aa4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。

故得到槽内的电位分布 ?(x,y)?4U0y U0解 应用叠加原理，设板间的电位为

?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)

其中，?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U0）的电位，即?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：

① ?2(x,0)??2(x,b)?0

②

boxydxy oxy 题 4.2图

x

?2(x,y)?0(x??)

③

U0?U?y(0?y?d)??0b?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)??

UU?0y?0y(d?y?b)?b?d??xn?y?nb )e根据条件①和②，可设?2(x,y)的通解为 ?2(x,y)??Ansin(bn?1U0?U?y(0?y?d)?n?y??0b)?? 由条件③有 ?Ansin(UUbn?1?0y?0y(d?y?b)?b?dn?y)，并从0到b对y积分，得到 两边同乘以sin(b2U2Uyn?y11n?yAn?0?(1?)sin()dy?0?(?)ysin()dy?2U02bsin(n?d)

b0bbbddbb(n?)db?xU02bU0?1n?dn?y?nb?(x,y)? y?sin()sin()e故得到2?2bd?n?1nbb4.3 求在上题的解中，除开U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按

dbCf?2We2定出边缘电容。 U0解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度

???2???02?y??y?0?x2?0U0?1n?d?nb??sin()e ??dn?1nb则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷

?x2?0U0n?d?nb4?0U0b?1n?dsin()edx??2?2sin() q2???2dx?2??2dx??2???dn?1nbn?db0n?1??0??2?2?0bU011n?dsin() 相应的电场储能为 We?q2U0???222?dn?1nb2We4?0b?1n?d其边缘电容为 Cf?2?2?2sin()

U0?dn?1nb4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U0，其余两面电位为零，求槽内的电位

的解。

解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为

① ?(0,y)??(a,y)?0

② ?(x,y)?0(y??)

y ③ ?(x,0)?U

0 根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为

?(x,y)??Ane?n?yasin(n?1?n?x) a由条件③，有 U0?o ?Ansin(n?1?U0

a题4.4图

a x

n?x) a两边同乘以sin(n?x)，并从0到a对x积分，得到 aa2U0n?x2U0An?sin()dx?(1?cosn?)?a?an?0?4U0,??n???0，n?1,3,5,Ln?2,4,6,L

故得到槽内的电位分布为 ?(x,y)?4U0?n?1,3,5,L4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为

?x?z??y(y?b)sin()sin()

ac?1?n?yan?xesin() na的电荷。求体积内的电位?。