??2??ergJ?r?R2??（2）两理想导体球面间的电阻

1?R(R?K)?(R2?K)R2 ln?21?R(R?K)?12??KU0R?U0R(R?K)1 ?ln21I4??0KR1(R2?K)3.29 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，

两球之间的距离为d(d??R1,d??R2)，试求两小导体球面间的电阻。

解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q，由于两球间的距离d??R1、d??R2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。

设两小球分别带电荷q和?q，由于d??R1、d??R2，可得到两小球表面的电位为

11?)

4??R1d?R2q11?2??(?)

4??R2d?R1q4??C?? 所以两小导体球面间的电容为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2I4??G?? 由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2111111?(???) 故两个小导体球面间的电阻为 R?G4??R1R2d?R1d?R2?1?q(3.30 在一块厚度d的导电板上， 由两个半径为r1和r2的圆弧和夹角为?的两半径割出的一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。

解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U1，则有

E1?J U1 dr2 ? ? d 故得到沿厚度方向的电阻为 R1?d?U?I1?J1S1?1?(r22?r12)

d2U12d ?I1??(r22?r12)J1??E1??U1

r1 题3.30图

（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2，则

E2?J2I?2 ???rdJ2?I2I?2S2?rd

r2U2??E2dr?r1I2rln2 ??dr1故得到两圆弧面之间的电阻为 R2?U2r1?ln2 I2??dr1?（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有 U3?E3rd?

?0由于E3与?无关，所以得到

E3?e?U3 ?rJ3??E3?e??U3 ?rr2?dU3?dU3r2I3??J3ge?dS??dr?ln

?r?r1S3r1U3? ?I3?dln(r2r1)3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。

故得到沿?方向的电阻为 R3?解 设内导体单位长度带电荷为?l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为

E(r)?b?l 2??0r由内外导体间的电压 U?Edr?a??l?lbdr?ln ?2??0r2??0aab得到 ?l?2??0U

ln(ba)由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 E(r)?在圆柱形电容器中，r?a处的电场强度最大 E(a)?令E(a)对a的导数为零，即 由此得到 ln(b/a)?1 故有 a?U

rln(ba)U

aln(ba)?E(a)1ln(ba)?1??2?0 2?aaln(ba)bb? e2.718eUEmin?U?2.718

bbql23.32 证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为

2C单位长度上的电容。

解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 E(r)?内外导体间的电压为

bbql2??r

U??Edr??a则同轴线单位长度的电容为 C?同

轴

线

b?l?bdr?lln 2??r2??aaql2??U?ln(ba)度

位

长

的

静

电

储

能

为

单

ql211ql2ql2112We???Ed????()2?rdr? ln(ba)?2?2a2??r22??2C3.33 如题3.33图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为?1和?2，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；

（2） 总的静电能量。

解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有 E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2，所以D1?D2。由高斯定理，得到

D1S1?D2S2?q 即 2?r?1E?2?r?2E?q

所以 E?22q2?r2(?1??2)

?1 a q 导体球的电位

?qq1?(a)??Edr?dr? 2?2?(???)a2?(?1??2)ar12aqC??2?(?1??2)a 故导体球的电容

?(a)? ?2 o 题 3.33图

1q2（2） 总的静电能量为 We?q?(a)?

24?(?1??2)a3.34 把一带电量q、半径为a的导体球切成两半，求两半

球之间的电场力。

解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f，然后在半球面上对f积分，求出两半球之间的电场力。

导体球的电容为 C?4??0a

q2q2? 故静电能量为 We?2C8??0a根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力

1?We1?q2q2f????()?

4?a2?a4?a2?a8??0a32?2?0a4方向沿导体球表面的外法向，即 f?erf?q22432??0a这里 er?exsin?cos??eysin?sin??ezcos? 在半球面上对f积分，即得到两半球之间的静电力为

er

2??2F??fdS???e00q2r32??0a24a2sin?d?d??

q2ez

3.35 如题3.35图所示，两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入在电容率为?的液体中，两板间加电压U，证明液面升高

2?a2q2ez32?2?0a4?2?cos?sin?d??32??a002h?其中?为液体的质量密度。

解 设金属板的宽度为a、高度为L。当金属板间的液面升高为h时，其电容为

U(???0)()2 2?gd1C?U ?ah?0a(L?h)? dd金属板间的静电能量为

1aU22We?CU?[h??(L?h)?0]

22d液体受到竖直向上的静电力为

L h ?WeaU2Fe??(???0)

?h2d而液体所受重力

? Fg?mg?ahd?g

d 题3.35图

aU2Fe与Fg相平衡，即 (???0)?ahdg

2d故得到液面上升的高度

(???0)U21U2 h??(???)() 022d?g2?gd3.36 可变空气电容器，当动片由0o至180o电容量由25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。

解 当动片为?角时，电容器的电容为

350?25?12??25?1.81?PF?(25?1.81?)?10F o180112?122此时电容器中的静电能量为 We?C?U0?(25?1.81?)?10U0

22?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。 （1）如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何

C??25?S d ?d U0

题3.37图(a)

变化？

（2）如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为?S、介电常数为?的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入，如题3.37(b)图所示，则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？