细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

?0?Qa2sin3?d??0?Qsin3?d?

dB?ez?ez?ez2(b2?d2)328?(a2sin2??a2cos2?)328?a3???Qsin??0?Q 0故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ed??ez?0z8?a6?a2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图

所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B?exBx；

（2）证明：在中点处dBxdx等于零；

（3）求出b与d之间的关系，使中点处d2Bxdx2也等于零。 解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B?ez得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B?ex?0b2dI?0Ia22(a?z)

2232

?0NIb2(b?d4)2232（2）两线圈的电流在其轴线上x(0?x?d)处的磁感应强度为

??0NIb2??0NIb2 B?ex?2?2322232?2[b?(d?x)]??2(b?x)22dB3?NIbx3?NIb(d?x) x00所以 ???dx2(b2?x2)522[b2?(d?x)2]52故在中点x?d2处，有

22dB3?NIbd23?NIbd2x00 ??2??0 2522252dx2[b?d4]2[b?d4]d b I b I x

dBx15?0NIbx3?0NIb??? 222722252 题2.11图 dx2(b?x)2(b?x) 15?0NIb2(d?x)23?0NIb2 ?222722522[b?(d?x)]2[b?(d?x)]225d41dBx令 ，有 ??0 ?0227222522x?d2[b?d4][b?d4]dx即 5d24?b2?d24 故解得 d?b

2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I。证明在

?I第一象限内的磁感应强度为 Bx??0?，

dB 4?ay P(x,y) ?2?Ir By?0ln2 式中?、r1和r2如题2.12图所示。 r2 ? 4?ar1 解 将导体带划分为无数个宽度为dx?的细条带，r? R 1 1 I每一细条带的电流由安培环路定理，可得?a IdI?dx?。 a x 2a位于x?处的细条带的电流dI在点P(x,y)处的磁场为 （3）

2222 题 2.12图

?0Idx??0dI?0Idx? dB???4?a[(x?x?)2?y2]122?R4?aR?0Iydx? 则 dBx??dBsin???224?a[(x?x?)?y]?0I(x?x?)dx? dBy?dBcos??22?4?a[(x?x)?y]所以

?x??x??0I Bx????arctan??22??4?a[(x?x)?y]4?ay???aa?0Iydx?a?a?

??a?x???a?x???0I?arctan?arctan???????4?a??y??y???x?a??x?a???0I???arctan???arctan???? 4?a??y??y???I?I?0(?2??1)??0?

4?a4?a?0I22?By????ln[(x?x)?y]22?4?a[(x?x)?y]8?a?aa?0I(x?x?)dx?a?a?0I(x?a)2?y2?ln?8?a(x?a)2?y2?0Ir2ln 4?ar12.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 44??0r式中?1??r,p1?，?2??r,p2?，?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角。并问两个偶极子

Fr?在怎样的相对取向下这个力值最大？

解 电偶极子p1在矢径为r的点上产生的电场为

z E1?13(p1gr)rp1[?3] 4??0r5rp1?1 p2?r 2 所以p1与p2之间的相互作用能为

y

13(p1gr)(p2gr)p1gp2We??p2gE1??[?3] 54??0rr因为?1??r,p1?，?2??r,p2?，则

p1gr?p1rcos?1

x 题 2.13图

p2gr?p2rcos?2

又因为?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角，所以有

2 (r?p1)g(r?p2)?rp1p2sin?1sin?2cos?

另一方面，利用矢量恒等式可得

(r?p1)g(r?p2)?[(r?p1)?r]gp2?r2(p1gp2)?(rgp1)(rgp2)

[r2p1?(rgp1)r]gp2?因此

1[(r?p1)g(r?p2)?(rgp1)(rgp2)]?p1p2sin?1sin?2cos??p1p2cos?1cos?2 2rp1p2W?(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 于是得到 e4??0r3(p1gp2)?故两偶极子之间的相互作用力为 Fr???We?rq?const??p1p2d1(3)? (sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)

4??0drr3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)

4??0r4 由上式可见，当?1??2?0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。

2.14 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力

Fm。

解 无限长直线电流I1产生的磁场为 B1?e?1?0I1 2?r直线电流I2每单位长度受到的安培力为 Fm12?I2ez?B1dz??e120??0I1I2 2?d?0I1I2 2?d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。

同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为 Fm21??Fm12?e122.15 一根通电流I1的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为

Fm??0I1I2(sec??1) 这里?是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。

解 无限长直线电流I1产生的磁场为

z I1B1?e??0I1 2?r 圆环上的电流元I2dl2受到的安培力为

?IIdFm?I2dl2?B1?dl2?ey012

2?x由题2.15图可知 dl2?(?exsin??ezcos?)ad? x?d?acos?

2??0aI1I2(?ezsin??excos?)d?? 所以 Fm??2?(d?acos?)0 o ?

d ? a I2dl2

x

题2.15图

?0aI1I22?cos??exd??2??(d?acos?)0?aII2?d2??ex012(??)??ex?0I1I2(sec??1)

2?aad2?a22.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为

r?(pg?)E?p?E。

解 如题2.16图所示，设p?qdl(dl??1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为

T?r2?qE(r2)?r1?qE(r1)?

dldldldl(r?)?qE(r?)?(r?)?qE(r?)?

2222dldlqdldlqr?[E(r?)?E(r?)]?dl?[E(r?)?E(r?)]

22222当dl??1时，有

dldlE(r?)?E(r)?(??)E(r)

22dldlE(r?)?E(r)?(??)E(r)

22故得到

z q r2 dl r r1 ?q T?r?(qdl??)E(r)?qdl?E(r)?

r?(pg?)E?p?E

o x y

题2.16 图

三章习题解答

3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q和?q共同产生的电通密度为

q 赤道平面 D?a qR?R?[3?3]? 4?R?R?err?ez(z?a)qerr?ez(z?a){2?}2322232 4?[r?(z?a)][r?(z?a)]z?0 则球赤道平面上电通密度的通量

???DgdS??DgezSSdS?

?q 题3.1 图

q(?a)a[?]2?rdr? 223222324??(r?a)(r?a)0aqa(r2?a2)12a?(01?1)q??0.293q 23.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0?erZe?1r??2?3?，试证明之。 4??rra?Ze 解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?er4?r2Ze3Ze?? 原子内电子云的电荷体密度为 ???4?ra334?ra3b 电子云在原子内产生的电通量密度则为 a ?0 c

?4?r33ZerD2?er??e r234?r4?ra题3. 3图(a)