空腔内、外的电场为

3?E0

2???0(???0)E0a3E?()[er2cos??e?sin?] E2????2(r,?)?02???0rE1????1(r,?)?空腔表面的极化电荷面密度为

?p??n?P2r?a??(???0)er?E2r?a??3?0(???0)E0cos?

2???0个电偶极子p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。

解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。

球壳外的场可由高斯定理求得为

4.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为r1和r2，球的中心放置一

4??0r2Q?2(r)?

4??0r外表面上的电荷面密度为 ?2?E2(r)?erQ

Q 4?r22r1 o p r2 z 设球内的电位为?1(r,?)??p(r,?)??in(r,?)，其中

Q pcos?p?P(cos?) 2214??0r4??0r是电偶极子p的电位，?in(r,?)是球壳内表面上的感应电荷的电

?p(r,?)?题 4.15图

位。

?in(r,?)满足的边界条件为

① ?in(0,?)为有限值；

② ?1(r1,?)??2(r2)，即?in(r1,?)??p(r1,?)??2(r2)，所以

?in(r1,?)?由条件①可知?in(r,?)的通解为

?Q4??0r2?n?0?p4??r201P1(cos?)

?in(r,?)??AnrnPn(cos?)

Q4??0r2pn由条件②，有 ?Anr1Pn(cos?)?n?0?p4??r201P1(cos?)

比较两端Pn(cos?)的系数，得到

4??0r24??0r13An?0(n?2)

Qp1r?(?)cos? 最后得到 ?1(r,?)?4??0r24??0r2r13A0?Q， A1??，

球壳内表面上的感应电荷面密度为

?1???0???1?nr?r1??0??1?rr?r1??3pcos? 4?r133p2?dS??cos??2?r感应电荷的总量为 q1??11sin?d??0 3??4?r10S4.16 欲在一个半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕

z 线的密度）？

解 设球内的均匀场为H1?ezH0(r?a)，球外的场为

erH1 度为

H2(r?a)，如题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密

a ? o JS?n?(H2?H1) H2

若令er?H2r?ar?a?er?(H2?ezH0)r?ar?a?

er?H2JS?e?H0sin?

?e?H0sin?

?0，则得到球面上的电流面密度为

题 4.16图

这表明球面上的绕线密度正比于sin?，则将在球内产生均匀场。

4.17 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。 （1）证明：球内的电场是均匀的，等于?P?0；

4?R3（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同，??。

3解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。

z 建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为

?p?P?n?P?er?Pcos?

介质球内、外的电位?1和?2满足的边界条件为

① ?1(0,?)为有限值； ② ?2(r,?)?0(r??)； ③ ?1(R,?)??2(R,?)

P o ?0(??1??2?)?r?rr?R?Pcos?

R 因此，可设球内、外电位的通解为

题 4.17图

?1(r,?)?A1rcos?

B1?2(r,?)?2cos?

rB2B1?(A?)?P 由条件③，有 A1R?1，0123RRPPR3 解得 A1?， B1?3?03?0PPrcos??z 于是得到球内的电位 ?1(r,?)?3?03?0

故球内的电场为 E1????1??ez（2）介质球外的电位为

PP?? 3?03?0P?PR314?R3P?cos? ?2(r,?)?cos??cos?2224??0r3?0r4??0r34?R3其中??为介质球的体积。故介质球外的电场为

3P???21??2(er2cos??e?sin?) E2????2(r,?)??er?e??34??r?rr?r0可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同。

4.18 半径为a的接地导体球，离球心r1(r1?a)处放置一个点电荷q，如题4.18图所示。

用分离变量法求电位分布。

解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。

设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中

?0(r,?)?q4??0R?q4??0r2?r12?2rr1cos?

是点电荷q的电位，?in(r,?)是导体球上感应电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为

① r??时，?(r,?)?0； ② r?a时， ?(a,?)?0。 由条件①，可得?in(r,?)的通解为

??in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)

n?0z 为了确定系数An，利用1R的球坐标展开式

q ??rn??rn?1Pn(cos?)(r?r1)1?n?01?? n?R?r1P(cos?)(r?r1)?n?1n??n?0rq?anP(cos?) 将?0(r,?)在球面上展开为 ?0(a,?)??n?1n4??0n?0r1代入条件②，有

r1 a o 题4.18图

?Aann?0??n?1anPn(cos?) ?P(cos?)?0 ?n?1n4??0n?0r1q?qa2n?1 比较Pn(cos?)的系数，得到 An??4??0r1n?1a2n?1?P(cos?) 故得到球外的电位为 ?(r,?)??n?1n4??0R4??0n?0(rr1)讨论：将?(r,?)的第二项与1R的球坐标展开式比较，可得到

qq?ar1a2n?1P(cos?)? ?n?1n2222(rr)n?01r?(ar1)?2r(ar1)cos?2由此可见，?(r,?)的第二项是位于r??ar1的一个点电荷q???qar1所产生的电位，此

?电荷正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。

4.19 一根密度为ql、长为2a的线电荷沿z轴放置，中心在

z 原点上。证明：对于r?a的点，有

P(r,?) ql?aa3a5a R

o ? r ?(r,?)???P(cos?)?P(cos?)?L?? 242??0?r3r35r5?qlaa解 线电荷产生的电位为

?a

ql1??(r,?)?dz?4??0??aR4??0对于r?a的点，有

?a?1r?z??2rz?cos?22dz?

题4.19图

(z?)n??n?1Pn(cos?)

22r?z??2rz?cos?n?0r1?故得到

(z?)n?(r,?)?P(cos?)dz?? ?4??0n?0??arn?1ql?a?ql?aa3a51an?1?(?a)n?1?P(cos?)?P(cos?)?LP(cos?)??? ?n3254n?12??0?r3r5r4??0n?0n?1r?4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为

24?Q?1?r?3?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?L? (r?a)

4??0a?8?a???2?a??24?Q?1?a?3?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?L? (r?a)

4??0r?8?r???2?r??解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用?函数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度

Q?Qz ???(cos??cos)??(cos?) 2?a222?a2 再根据边界条件确定系数。

设球面r?a内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，

ql?a o y

则边界条件为：

① ?1(0,?)为有限值；

② ?2(r,?)?0(r??) ③ ?1(a,?)??2(a,?)，

x 题 4.20图

???1??2Q?)??(cos?) 2?r?rr?a2?a根据条件①和②，可得?1(r,?)和?2(r,?)的通解为

?0(?1(r,?)??AnrnPn(cos?) （1）

n?0