解 在体积内，电位?满足泊松方程

?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin() （1） ?x2?y2?z2?0ac长方体表面S上，电位?满足边界条件?S?0。由此设电位?的通解为

?(x,y,z)?代入泊松方程（1），可得

???1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???m?xn?yp?z)sin()sin() abc???Amnp[(m?1n?1p?1m?2n?2p?)?()?()2]? abcm?xn?yp?z?x?zsin()sin()sin()?y(y?b)sin()sin()

abcac由此可得

Amnp?0 (m?1或p?1)

?Ap?1??2n?2?2n?y[()?()?()]sin()?y(y?b) （2） 1n1abcbb由式（2），可得

n??2n?y4bA1n1[()?()2?()2]??y(y?b)sin()dy?()3(cosn??1)?

abcb0bbn?2??8b2??3?(n?)?0?故

n?1,3,5,Ln?2,4,6,L

?(x,y,z)??8b2?5?0n?1,3,5,L??1?xn?y?zsin()sin()sin()1n1abc n3[()2?()2?()2]abc4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷ql，其位置为(0,d)。求板间的电位函数。

解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在

x?0的分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。

电位的边界条件为

y ① ?1(x,0)=?1(x,a)?0

qld 题 4.6图

o a x

?2(x,0)=?2(x,a)?0 ② ?1(x,y)?0(x??)

?2(x,y)?0(x???) ③ ?1(0,y)??2(0,y)

q????(2?1)x?0??l?(y?d) ?x?x?0由条件①和②，可设电位函数的通解为

(x?0)

?1(x,y)??Ane?n?xasin(n?1?n?y)a

?2(x,y)??Bnen?xasin(n?1?n?y) (x?0) a由条件③，有

?n?yn?yAsin()?Bsin() （1） ??nnaan?1n?1??qn?n?yn?n?y??Ansin()??Bnsin() ?l?(y?d) （2）

?0aaaan?1n?1?由式（1），可得

An?Bn （3）

将式（2）两边同乘以sin(m?y)，并从0到a对y积分，有 a2ql2qlan?dn?ysin() （4）?(y?d)sin()dy?An?Bn? n??0an??0?0aqln??0sin(n?d) a由式（3）和（4）解得 An?Bn?故

?1(x,y)?1n?d?n?xan?ysin()esin() (x?0) ???0n?1naaql?1n?dn?xan?y?2(x,y)?sin()esin() (x?0) ???0n?1naaql?4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷ql。求槽

内的电位函数。

y 解 由于在(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?x0为界将场空间分割为0?x?x0和x0?x?a两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?x0的分界面上，可利用

b ?函数将线电荷ql表示成电荷面密度

ql(x0,y0) ?(y)?ql?(y?y0)，电位的边界条件为

① ?1(0,y)=0，?2(a,y)?0 ② ?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0 ③ ?1(x0,y)??2(x0,y)

(??2??1?)?x?x?x?x0o 题4.7图

a x

??ql?0?(y?y0)

由条件①和②，可设电位函数的通解为

?1(x,y)??Ansin(n?yn?x)sinh() (0?x?x0) bbn?1?n?yn?)sinh[(a?x)] (x0?x?a) ?2(x,y)??Bnsin(bbn?1由条件③，有

?n?x0n?yn?yn?Asin()sinh()?Bsin()sinh[(a?x0)] （1） ??nnbbbbn?1n?1??Ann?1?n?x0n?n?ysin()cosh()? bbb?Bnn?1?qn?n?yn?sin()cosh[(a?x0)] ?l?(y?y0) （2） bbb?0由式（1），可得

n?x0n?)?Bnsinh[(a?x0)]?0 （3） bbm?y)，并从0到b对y积分，有 将式（2）两边同乘以sin(b2qlbn?yn?x0n???(y?y)sin()dy? Ancosh()?Bncosh[(a?x0)]0?0n??0bbb2qln?y0sin() （4） n??0bAnsinh(由式（3）和（4）解得 An?2qln?y01n?sinh[(a?x0)]sin()

sinh(n?ab)n??0bb2qln?x0n?y01Bn?sinh()sin()

sinh(n?ab)n??0bb故

1n?sinh[(a?x0)] ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?xn?y?sin()sinh()sin() (0?x?x0)

bbb2ql?n?x01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?n?y?sin()sinh[(a?x)]sin() (x0?x?a)

bbb若以y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域，则可类似地得到

?1(x,y)?2ql?1n?sinh[(b?y0)] ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?yn?x?sin()sinh()sin() (0?y?y0)

aaa2ql?n?y01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?n?x?sin()sinh[(b?y)]sin() (y0?y?b)

aaa4.8 如题4.8图所示，在均匀电场E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。

解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?0与感应电荷的电位?in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C（常数C的值由参考点确定），而感应电荷的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以?(r,?)满足的边界条件为

?1(x,y)?2ql?y ① ?(a,?)?C

② ?(r,?)??E0rcos??C(r??)

?1由此可设 ?(r,?)??E0rcos??A1rcos??C ?1由条件①，有 ?E0acos??A1acos??C?C

E0 a o x

2于是得到 A1?aE0 故圆柱外的电位为

题4.8图

?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C

若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?(a,?)?0，则C?0。

导体圆柱外的电场则为

22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?2)E0cos??e?(?1?2)E0sin?

?rr??rr??(r,?)导体圆柱表面的电荷面密度为 ????0r?a?2?0E0cos?

?r4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场E0?exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。

解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E

为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为

?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电荷的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)的边界条件为

① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值；

??1????2 ③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?0?r?r由条件①和②，可设

?1(r,?)??E0rcos??A1rcos? (r?a)

?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)

带入条件③，有 A1a?A2a，??0E0??0A1???E0??aA2

?1?2???0???02E0， A2??aE0 ???0???02??(r,?)??Ercos? (r?a) 所以 1???00???0a2?2(r,?)??[1?()]E0rcos? (r?a)

???0r4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10

由此解得 A1??图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位U0y 0 b o ?U0 U0 和?U0。求圆柱面内部的电位函数。

解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为

① ?(0,?)为有限值；

0 x

题4.10图