一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3

B??ey4?ez

C?ex5?ez2

求：（1）a；（2）A?B；（3）Ag（4）?；（5）A在B上的分量；（6）A?C；B；

AAB（7）Ag(B?C)和(A?B)gC；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。 解 （1）aAA?A?ex?ey2?ez312?22?(?3)2?e123x14?ey14?ez14 （2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AgB?(ex?ey2?ez3)g(?ey4?ez)?－11 （

4

）

由

cos?AgB?AB?AB?1114?17??11238?AB?cos?1(?11)?135.5o238 （5）A在B上的分量 AB?Acos?AB?AgBB??1117 exeyez（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 50?2exeyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20 50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4

0?41所以 Ag(B?C)?(ex?ey2?ez3)g(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)gC?(?ex10?ey1?ez4)g(ex5?ez2)??42

exeyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5

50?2exeyezA?(B?C)?12?3?ex55?ey44?ez11

8520 1.2 三角形的三个顶点为P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 （1）判断?PP12P3是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。

，得

解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)3(6,2,5) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3?r2?ex2?ey?ez8，

R31?r1?r3??ex6?ey?ez7

由此可见

R12gR23?(ex4?ez)g(ex2?ey?ez8)?0

故?PP为一直角三角形。 12P3111R12?R23?R12?R23?17?69?17.13 222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3，

（2）三角形的面积 S?则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为

?x?cos?1(exgRP?P5)?cos?1()?32.31o RP?P35egR??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47o

RP?P35egR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73o

RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和

A在B上的分量。

解 A与B之间的夹角为

?AB?cos?1(AgB?31)?cos?1()?131o AB29?77A在B上的分量为 AB?AgB?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在

C?ex?ey?ez上的分量。

ex解 A?B?2ey3ez?4??ex13?ey22?ez10 1?6?4(A?B)gC25????14.43

C31.6 证明：如果AgC和A?B?A?C，则B?C； B?Ag解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即

(AgB)A?(AgA)B?(AgC)A?(AgA)C

由于AgC，于是得到 (AgA)B?(AgA)C B?Ag故 B?C

所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AgX而P?A?X，p和P已知，试求X。

解 由P?A?X，有

A?P?A?(A?X)?(AgX)A?(AgA)X?pA?(AgA)X

故得 X?标；（2）球坐标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中 x?4cos(2?3)??2、y?4sin(2?3)?23、z?3 故该点的直角坐标为(?2,23,3)。

pA?A?P AgA2?1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,（1）直角坐标中的坐,3)定出，求该点在：3（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1o、??2?3?120o 故该点的球坐标为(5,53.1o,120o)

25， r2（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex；

1.9 用球坐标表示的场E?er（2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故

E?er251? r221?332

Ex?exgE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以

2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为

?EB?cos?1(EgB19(102))?cos?1(?)?153.6o EgB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和

R2间夹角的余弦为

cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)

解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1

R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2

得到 cos??R1gR2?

R1R2sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2

sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?

1.15 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： 第6页,1.13在第7页)

解

2???(e3sin?)gdS的值。(1.11在

rS蜒?(e3sin?)gdS??(e3sin?)gerrSSrdS??22 d?3sin??5sin?d??75???001.17 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验证散

度定理。

解 在圆柱坐标系中 ?gA?42?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z50所以 又

?gAd???dz?d??(3r?2)rdr?1200? ??00S42?2AgdS?(er蜒??r?ez2z)g(erdSr?e?dS??ezdSz)? S52?2 故有

??500?5d?dz???2?4rdrd??1200?

00?gAd??1200???AgdS ???S1.18 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求?gA对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。

222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）?gA????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?gA对中心在原点的一个单位立方体的积分为

12121212222 ?gAd??(2x?2xy?72xyz)dxdydz?????24??12?12?12 （3）A对此立方体表面的积分

1212AgdS?()dydz?(?)dydz? ??????22S?12?12?12?1212121212122122 2x()dxdz?2x(?)dxdz? ????22?12?12?12?12111 ??24xy()3dxdy???24x2y2(?)3dxdy?

2224?12?12?12?12221212121212121212故有

???gAd??1?AgdS ??24S1.19 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?gr对球体积

的积分。

2??2解

蜒?rgdS??rgeSSrdS??d??aa00sin?d??4?a3

又在球坐标系中，?gr?1?2(rr)?3，所以 2r?r2??a2?grd?????3r??000sin?drd?d??4?a3

1.21 求矢量A?exx?eyx?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线

积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

222222解

??Agdl??xdx??xdx??2C000dy??0dy?8

0