5．7 6．(－∞，－1)或(－∞，－1] 7．3 8．3 9．0 10．33 11．3 12．(－9，3) 5 14．[1，3) 5
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
13．
15．（本题满分14分）
2＋4mi(2＋4mi)(1＋i)解（1）z＝＝ 1－i(1－i)(1＋i)
＝1－2m＋(2m＋1)i． …………………… 3分 因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，
1
解得m＝． …………………… 6分
2（2）因为z是z的共轭复数，所以z＝1－2m－(2m＋1)i． ……………………8分
所以z＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]
＝3－6m＋(2m＋1)i． …………………… 10分
因为复数z＋2z在复平面上对应的点在第一象限，
?3－6m＞0，所以? …………………… 12分
?2m＋1＞0，
—
——
—
1111
解得－＜m＜，即实数m的取值范围为(－，)． …………………… 14分
222216．（本题满分14分）
→→→解 如图，以{DA，DC，DD1}为正交基底建立坐标系D—xyz．
设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)， B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2)． →（1）因为EF＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)， →DG＝ (1，2，2)， …………………… 2分 →→所以EF·DG＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，
x D A B （第16题图）
E C y A1 z D1 F B1 G C1 →→|EF|＝1＋(－1)2＋22＝6，|DG|＝3．
…………………… 4分
→→EF·DG36→→从而cos＜EF，DG＞＝＝＝，
→→6×36|EF||DG|
6→→即向量EF与DG的夹角的余弦为，
6从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为→→（2）DB＝(2，2，0)，DG＝ (1，2，2)．
设平面DBG的一个法向量为n1＝(x，y，z )．
6
． …………………… 7分 6
??→DB·n1＝2x＋2y＝0，
由题意，得 ?
→??DG·n1＝x＋2y＋2z＝0，
取x＝2，可得y＝－2，z＝1．
所以n1＝(2，－2，1)． …………………… 11分 →又平面ABD的一个法向量n2＝DD1＝(0，0，2)， 21n1·n2所以cos＜n1，n2＞＝＝＝．
|n1||n2|3×23
1
因此 |cosθ|＝． …………………… 14分
3
17．（本题满分14分）
解（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．
136
因为圆锥的体积为6π，即 πx2h＝6π，所以h＝2．…………………… 2分
3x
因此 l＝x＋h＝
2236
x＋(2)2，
x
2
从而S＝πxl＝πx
36
x2＋(2)2＝π
x
54x4＋2，(x＞0)． …………………… 6分
x
54108
（2）令f(x)＝x4＋2，则f ′(x)＝4x3－3 ，(x＞0)． …………………… 8分
xx
由f ′(x)＝0，解得x＝3． …………………… 10分
当0＜x＜3时，f ′(x)＜0，即函数f(x)在区间(0，3)上单调递减；
当x＞3时，f ′(x)＞0，即函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增．
…………………… 12分
所以当x＝3时，f(x)取得极小值也是最小值．
答：当圆锥底面半径为3时，圆锥的侧面积最小． ……………………… 14分
18．（本题满分16分）
DE解（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－，－)．
22
因为圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上， ＋9＋D＋3E＋F＝0，
?116＋4＋4D＋2E＋F＝0，所以 ? …………………… 4分
DE
?－2＋2－1＝0，
??D＝－4，解得?E＝－2，
??F＝0．
所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0． …………………… 7分 （2）由（1）知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝PC2－5×5．
所以当PC最小时，S最小． …………………… 10分 因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半径为1． 因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6． 因为点P∈M，且圆M的半径为1， 所以PCmin＝6－1＝5．
所以Smin＝52－5×5＝10． …………………… 14分
此时直线MC：y＝1，从而P(－3，1)． …………………… 16分
19．（本题满分16分）
x2y2
解（1）设椭圆C：2＋2＝1的半焦距为c．
ab
a243＝，?a＝2，c3
由题意，得 解得?从而b＝1．
c3?c＝3，＝，a2
???
x22
所以椭圆C的方程为＋y＝1． …………………… 4分
4（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，
故可设M(x0，y0)，N(x0，－y0)( x0≠0，y0≠0)，
y0－1－y0－11－y02
从而 k1k2＝·＝． …………………… 7分
x0x0x022
x0222x0因为点M在椭圆C上，所以＋y0＝1，所以1－y0＝，
44
1－y021
所以k1k2＝2＝． …………………… 10分
x04②设Q(x1，y1)，依题意A(0，1)． 因为l1⊥AM，所以
y0－1y1－y0
·＝－1，即(y0－1)(y1－y0)＝－x0 (x1－x0)； x0x1－x0
－y0－1y1＋y0
因为l2⊥AN，所以·＝－1，即(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，
x0x1－x0故 (y0－1)(y1－y0)－(－y0－1)(y1＋y0)＝0，
化得(y1＋1) y0＝0． …………………… 14分 从而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．
即点Q在一条定直线y＝－1上． …………………… 16分
20．（本题满分16分）
1
解（1）当a＝0时，f(x)＝－1－lnx，f ′(x)＝－．
x
设切点为T(x0，－1－lnx0)，
1
则切线方程为：y＋1＋lnx0＝－( x－x0)． …………………… 2分
x01
因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x0＝－ (0－x0)，解得x0＝e．
x0
1
所以所求切线方程为y＝－x－1． …………………… 4分
e
2
1ax－1
（2）① f ′(x)＝ax－＝，x＞0．
xx
(i) 若a≤0，则f ′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
从而函数f(x)在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 5分 (ii)若a＞0，由f ′(x)＝0，解得x＝
当0＜x＜
1
． a
11
时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞时， f ′(x)＞0，f(x)单调递增， aa所以f(x)min＝f(
11111
)＝－ln－1＝－－ln．
2a2aa
11
要使函数f(x)有两个零点，首先 －－ln＜0，解得0＜a＜e． …………… 7分
2a当0＜a＜e时，
111
＞＞． aee