13.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为__________.

【答案】 60°

→→→→

【解析】 ∵CD＝CA＋AB＋BD， →∴|CD|＝＝

→→→2（CA＋AB＋BD）＝

→→

36＋16＋64＋2CA·BD

→→

116＋2CA·BD＝217.

→→→→→→

∴CA·BD＝|CA|·|BD|· cos〈CA，BD〉＝－24. 1→→

∴ cos〈CA，BD〉＝－.

2→→

又所求二面角与〈CA，BD〉互补， ∴所求的二面角为60°.

14.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.

(1)求证：CD＝C1D；

(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值； (3)求点C到平面B1DP的距离. 【答案】见解析

【解析】如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1).

(1)证明 设C1D＝x，∵AC∥PC1， ∴

C1PC1Dx＝＝. ACCD1－xx?，0?由此可得D(0，1，x)，P?0，1＋.

1－x???

→→

∴A1B＝(1，0，1)，A1D＝(0，1，x)，

B1P＝?－1，1＋

→

??

x1－x，0??.

?

21

设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，

→??n1·A1B＝a＋c＝0，

则?令c＝－1，则n1＝(1，x，－1).

→??n1·A1D＝b＋cx＝0，∵PB1∥平面BDA1，

x?→?∴n1·B1P＝1×(－1)＋x·?1＋?＋(－1)×0＝0.

?1－x?

1

由此可得x＝.故CD＝C1D.

2

?1?(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝?1，，－1?. ?2?

又n2＝(1，0，0)为平面AA1D的一个法向量， ∴cos〈n1，n2〉＝

n1·n212

＝＝.

|n1||n2|33

1×

2

2

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

31?→→?

(3)∵PB1＝(1，－2，0)，PD＝?0，－1，?，

2??设平面B1DP的一个法向量为n3＝(a1，b1，c1).

?

则? c→

?n·PD＝－b＋2＝0.

n3·PB1＝a1－2b1＝0，

1

3

1

→

1??1?→?令c1＝1，可得n3＝?1，，1?.又DC＝?0，0，?， 2??2??→

|DC·n3|1

∴C到平面B1DP的距离d＝＝.

|n3|3【新高考创新预测】

15. (思维创新)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E分别是BC，AB的中点，AB≠AC，且AC>AD.设PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P－BC－A为γ，则( )

A.α<β<γ C.β<α<γ 【答案】 A

ππ

【解析】 由题图可知∠PCA＝α<，∠PDA＝β<，

22

22

B.α<γ<β D.γ<β<α

因为PA⊥平面ABC，所以tan α＝，tan β＝. 又AC>AD，故tan β>tan α，则β>α.

过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，连接PQ，则∠PQA＝γ， 同理可证得γ>β，所以α<β<γ，故选A.

PAACPAAD 23