2.利用法向量求距离问题的程序思想方法 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量；

第三步，确定参考向量到法向量的投影向量； 第四步，求投影向量的长度.

【易错防范】

1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2.利用向量法求二面角大小的注意点

(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；

(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求. (3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误. 【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( ) A.120° C.30° 【答案】 C

【解析】 设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sin β＝|cos γ|1＝|cos 120°|＝. 2

又0°≤β≤90°，∴β＝30°.

2.在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为( ) A.π 6

B.π 4

C.π 3

D.π 2

B.60° D.60°或30°

【答案】 D

【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，

C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).

13

→→

∴AC＝(1，1，0)，B1D＝(－1，1，－1)， →→

∵AC·B1D＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0， π→→

∴AC⊥B1D，∴AC与B1D所成的角为.

2

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为( ) A.32

B.353

C.3

D.63

【答案】 D

【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，4)，

B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).

所以→AC＝(2，4，0)，→AM＝(0，2，2)，→

CD＝(－2，0，0). 设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥→AC，n⊥→

AM，

可得???2x＋4y＝0，??

2y＋2z＝0，令z＝1，得n＝(2，－1，1).

?→设所求角为α，则sin α＝

?CD·n???＝6. ?|→CD||n|??

34.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为( A.12322 B.3 C.3 D.2

【答案】 B

【解析】 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E???1，0，12???，D(0，1，0)，

∴A→(0，1，－1)，A→1D＝1E＝?

?1?

1，0，－2???.

) 14

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，

y－z＝0，→????A1D·n1＝0，??y＝2，

则有?即?1∴?

?→z＝2，1－z＝0，???A1E·n1＝0，??2

∴n1＝(1，2，2).

∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 22

∴|cos〈n1，n2〉|＝＝，

3×13

2

即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.

3

5.(2019·日照模拟)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( ) A.

322223 B. C. D. 2233

【答案】 D

【解析】 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，→→→

则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1A1＝(2，0，0)，DB＝(2，2，0)，DA1＝(2，0，2)，

设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)， →??n·DA1＝0，??2x＋2z＝0，

则?∴?

?→2x＋2y＝0，???n·DB＝0，令z＝1，得n＝(－1，1，1).

→

|D1A1·n|223

∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

|n|33二、填空题

6.(2019·昆明月考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，

F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.

【答案】 60°

【解析】 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，

15

→→

则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)， →→

∴EF·BC1＝2， →→

∴cos〈EF，BC1〉＝

1＝，

2×2222

∴EF和BC1所成的角为60°.

7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________. 2

【答案】

3

【解析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，

B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则DC＝(0，1，0)，DB＝(1，1，0)， DC1＝(0，1，2).

→→

设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，

??x＋y＝0，所以有?令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).

?y＋2z＝0，?

→→

→

设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，

?n·→DC?→??＝2. 则sin θ＝|cos 〈n，DC〉|＝

?|n||→?DC|?3?

8.(一题多解)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为________. 【答案】

2

3

【解析】 法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.

设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3， 作BH⊥AG于点H，连接EH， 则∠EHB为所求锐二面角的平面角. 32∵BH＝，EB＝1，

2∴tan ∠EHB＝＝

EBBH2. 3

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