小初高试卷教案习题集
【考点】平面向量的运算.
【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
5．【2017浙江，15】已知向量a，b满足a?1,b?2,则a?b?a?b的最小值是________，最大值是
_______． 【答案】4，25 【解析】
试题分析：设向量a,b的夹角为?，由余弦定理有：a?b?1?2?2?1?2?cos??5?4cos?，
22a?b?12?22?2?1?2?cos??????5?4cos?，则：
a?b?a?b?5?4cos??5?4cos?，
令y?5?4cos??5?4cos?，则y?10?225?16cos据此可得：a?b?a?b22???16,20?，
?16?4，
??max?20?25,a?b?a?b??min即a?b?a?b的最小值是4，最大值是25． 【考点】平面向量模长运算
【名师点睛】本题通过设入向量a,b的夹角?，结合模长公式， 解得
a?b?a?b?5?4cos??5?4cos?，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
6.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为?,且tan?=7,OB与OC的夹角为45°.若OC?mOA?nOB(m,n?R), 则m?n? .
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【答案】3
【考点】向量表示
【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
7.【2017天津，理13】在△ABC中，∠A?60?，AB?3，AC?2.若BD?2DC，
AE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________.
【答案】
3 110【解析】AB?AC?3?2?cos60?3,AD?12AB?AC ,则 3312?2?123AD?AE?(AB?AC)(?AC?AB)??3??4??9??3??4???.
33333311【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的AB,AC已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
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8.【2017山东，理12】已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60，则实数?的值是 . 【答案】3 3
【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量. 【名师点睛】
b＝abcos?，其中?是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范1.平面向量a与b的数量积为a·围：0????180?.
a，cos??2.由向量的数量积的性质有|a|=a·以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
a·bab，a·b＝0?a?b，因此，利用平面向量的数量积可
3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立?的方程. 9.【2017江苏，16】 已知向量a?(cosx,sinx),b?(3,?3),x?[0,π]. （1）若a∥b,求x的值；
（2）记f(x)?a?b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 【答案】（1）x?5π（2）x?0时，6取得最大值，为3； x?5π时，6取得最小值，为?23.
?(cosx,sinx)，b?(3,?3)，a∥b， 【解析】解：（1）因为a 所以?3cosx?3sinx.
若cosx?0，则sinx?0，与sin2x?cos2x?1矛盾，故cosx?0. 于是tanx??3. 3小初高试卷教案习题集
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，所以x?又
5π. 6π). 6（2）f(x)?a?b?(cosx,sinx)?(3,?3)?3cosx?3sinx?23cos(x?因为
，所以x?ππ7π?[,]， 666从而?1?cos(x?于是，当x?π3. )?62ππ?，即x?0时，取到最大值3； 66π5π当x???，即x?时，取到最小值?23.
66【考点】向量共线，数量积
【名师点睛】(1)向量平行：a//b?x1y2?x2y1，
a//b,b?0????R,a??b,BA??AC?OA?1?OB?OC 1??1??(2)向量垂直：a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0，
(3)向量加减乘： a?b?(x1?x2,y1?y2),a?|a|2,a?b?|a|?|b|cos?a,b?
2016年高考全景展示 1.【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|=|a|+|b|,则m= . 【答案】?2 【解析】
222试题分析：由|a?b|?|a|?|b|,得a?b,所以m?1?1?2?0,解得m??2.
2
2
2
2考点：向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若a??x1,y1?,b??x2,y2?,则a?b?x1y1?x2y2. 量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.
2.【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos
1.若n⊥（tm+n），则实数3t的值为（ ）
（A）4 【答案】B
（B）–4
（C）
9 4（D）–
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